2o ciclo Series de Fourier en ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes periódicos

[Markobar]

Hola a todos!

Estoy buscando las soluciones periódicas de un sitema de ecuaciones de este tipo:

$\frac{\dd x(t)}{\dd t} = A(t) x$

con $x(0)={x}_{o}$ y donde $A(t+T) = A(t), \forall t$

Para hacerlo más fácil, supongamos que tenemos esta ecuación diferencial más simple:

$\frac{\dd x(t)}{\dd t} = \cos(t) x$

con $x(0)=1$

La solución es periódica y se puede calcular directamente:

$x(t)={e}^{\sin(t)}$

Pero este tipo de ecuaciones no siempre se pueden resolver directamente, por lo que estoy intentando encontrar un método análogo a las series de potencias, pero con series de Fourier (evidentemente, cuando la solución de la ecuación diferencial se sabe que es periódica).

Entonces, suponiendo que la función incógnita se puede expresar como una suma infinita de funciones periódicas (serie de Fourier):

$x(t) = \sum_{n = -\infty}^\infty {C}_{n}{e}^{int}$

Su derivada se puede calcular como:

$\frac{\dd x(t)}{\dd t} = \sum_{n = -\infty}^\infty in{C}_{n}{e}^{int}$

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación diferencial original:

$\sum_{n = -\infty}^\infty in{C}_{n}{e}^{int} = \cos(t) \sum_{n = -\infty}^\infty {C}_{n}{e}^{int}$

con $\sum_{n = -\infty}^\infty {C}_{n}=1$

La función $\cos(t)$ se puede sustituir por su versión exponencial compleja, a saber $\frac{{e}^{it}+{e}^{-it}}{2}$, por lo que sustituyendo y reorganizando los sumatorios llegamos a:

$\sum_{n = -\infty}^\infty in{C}_{n}{e}^{int} = \frac{1}{2} \sum_{n = -\infty}^\infty {C}_{n-1}{e}^{int}+\frac{1}{2} \sum_{n = -\infty}^\infty {C}_{n+1}{e}^{int}$

con $\sum_{n = -\infty}^\infty {C}_{n}=1$

Como la descomposición en series de Fourier es única, se tiene que:

$in{C}_{n} = \frac{1}{2} {C}_{n-1}+\frac{1}{2} {C}_{n+1}$

con $\sum_{n = -\infty}^\infty {C}_{n}=1$

A partir de aquí ya no sé cómo continuar para encontrar la solución de la ecuación de recurrencia que me dará los coeficientes de Fourier. Alguna idea? Hay algo que no sea correcto en mi razonamiento?

Muchas gracias!
Marcos.

[Markobar]

Re: Series de Fourier en ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes periódicos

He llegado a una respuesta, pero la cuestión es mucho más difícil de lo que parece

En el ejemplo que he puesto más arriba, como conocemos la solución:

$x(t)={e}^{\sin(t)}$

Si intentamos calcular los coeficientes ${C}_{n}$ de la serie de Fourier tenemos que:

${C}_{n} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi }^\pi x(t){e}^{int}dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi }^\pi {e}^{\sin(t)}{e}^{int}dt$

Y esta integral es justamente una definición de la función de Bessel para $J_n(x)$ en $x=-i$, por lo que los coeficientes quedan:

${C}_{n} = J_n(-i)$

Pudiendo escribir $J_n(-i)$ en forma de sumatorio infinito (fórmula de wikipedia):

$J_n(-i)=\left({-i \over 2}\right)^n \sum_{p=0}^\infty {(-1)^p \over 2^{2p} p! (n+p)!} (-i)^{2p}$

Ahora la pregunta es: cómo pasamos de la ecuación de recurrencia que he conseguido obtener al final de mi primer post (la cual he verificado que es correcta), a saber

$in{C}_{n} = \frac{1}{2} {C}_{n-1}+\frac{1}{2} {C}_{n+1}$

$con \sum_{n = -\infty}^\infty {C}_{n}=1$

a la definición de la función de Bessel en forma de sumatorio?

Y todo esto sale de una de las ecuaciones diferenciales con coeficientes periódicos más sencillas que uno se puede encontrar... ya ni hablemos de suponer un sistema de ecuaciones diferenciales donde los coeficientes son a su vez series de Fourier...

De verdad no hay un método más simple?

[Markobar]

Re: Series de Fourier en ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes periódicos

Hola, soy yo otra vez. Hoy, después de mucho tiempo, me ha dado por ponerme con este problema de nuevo y he conseguido pasar de la ecuación recurrente a la fórmula del sumatorio infinito. Lo he conseguido haciendo la transformada en Z de la ecuación recurrente y se me queda una ecuación diferencial en Z. La resuelvo y, finalmente, realizo la transformada inversa de Z a la solución para obtener los coeficientes de la serie de Fourier.

Saludos!
Marcos.

[Umbopa]

Re: Series de Fourier en ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes periódicos

no entiendo porque tanta complicación si la solución general es

$x(t) = x(0) e^{\int^{t}_0 A(\tau) d\tau}$

[Markobar]

Re: Series de Fourier en ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes periódicos

El problema es que, tal y como digo en mi primer post, esa solución general que has escrito no siempre se puede calcular, pues depende de cómo sea A(t). Con mi método, mientras A(t) se pueda expresar mediante una serie de Fourier, se podrá obtener una expresión cerrada (en forma de serie) para los coeficientes de Fourier de la función solución.

[Umbopa]

Re: Series de Fourier en ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes periódicos

Y porque no se puede calcular?
Muchas funciones tienen primitiva conocida.
Y si la función es un tanto exótica, la integral se puede conseguir numéricamente con una sencilla suma (un programa de 10 lineas de código)

En el cálculo diferencial la solución $x(t) = x(0) e^{\int^{t}_0 A(\tau) d\tau}$ se considera completa y satisfactoria.
Y aunque consigas una solución en forma de serie de Fourier tendrás que hace igualmente una suma infinita numéricamente así que no veo la ventaja por ningún lado.

[Markobar]

Re: Series de Fourier en ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes periódicos

Que muchas funciones tengan primitiva conocida no significa que todas la tengan.
Por otro lado, evidentemente que puedes encontrar una solución numérica a la ecuación diferencial mediante la fórmula general, completa y satisfactoria, pero con el método que propongo las ventajas a nivel práctico son innumerables: puedes convertir sistemas diferenciales de ecuaciones donde las variables oscilan en variables constantes, analizar cada uno de las componentes armónicas de las señales por separado, estudiar la existencia de soluciones o su estabilidad, entre otros. Es verdad que la serie resultante será infinita y para obtener un valor tendrás que realizar un cálculo numérico, pero puedes sacar conclusiones sobre esa serie (si converge o no, etc).
La teoría es muy bonita, pero con la fórmula que has puesto no se puede hacer nada de lo que he escrito.