Secundaria Hallar el término general en una sucesión

[javirk]

Buenas,

me han mandado unos ejercicios que sé hacer pero que algunos o no me salen o me cuesta mucho, son de hallar el término general en una sucesión.
Por ejemplo:
$\frac{1}{2 },\frac{3}{4 },\frac{7}{8 },\frac{15}{16 } ,...$

Bien, esto se puede hacer fácilmente con la cabeza: ${a}_{n }=\frac{{2}^{n } -1}{{2}^{n} }$

El problema viene cuando te ponen por ejemplo:
$\frac{-3}{5 },\frac{6}{7 },-1,\frac{12}{11} ,...$

¿Se puede hacer de alguna otra forma que no sea de cabeza?

Muchas gracias.

[_L_]

Re: Hallar el término general en una sucesión

Ese ultimo que has puesto es de verdad o un ejemplo?

[angel relativamente]

Re: Hallar el término general en una sucesión

Vamos con la sucesión. Primero, como tiene fracción, vamos a separarla en numerador y denominador. La del numerador es:
-3 , 6 , -9 , 12 , -15, ...

La del denominador es:
5, 7, 9, 12, ...

Bien, imagino que habrás dado como calcular el término general de una progresión aritmética. Se llaman aritméticas a todas aquellas progresiones que para pasar de un término al siguiente se suma una constante a la que llamaremos diferencia y la representamos por d. El termino general es: $a_n=a_1+(n-1)d$
La sucesión del denominador es bien fácil, progresión aritmética de diferencia 2, por tanto:
$a_n=5+(n-1)2=2n+3$

La del numerador se nos complica un poco. Suponte que no tiene números negativos, se nos quedaría pues:
3, 6, 9, 12, ...

Esa es muy sencillita, pues es otra geométrica de diferencia 3, cuyo término general sería:
$a_n=3+(n-1)3=3n$

Pero no es cierto porque la sucesión tiene un - delante de los números que ocupan la posición impar. (el 1º, el 3º, el 5º). Por tanto, hemos de multiplicar por -1 a los que ocupen la posición impar. ¿Cómo hacer eso?. Fíjate. $(-1)^n$ vale -1 cuando n es impar y 1 cuando n es par. Por tanto si multiplico a la sucesión anterior por eso: $(-1)^n \cdot 3n$, puedes comprobar que hemos hallado el término general de la sucesion del numerador. Cuando n es 1, nos sale -3. Cuando n es 2, nos sale 6, etcétera. Por tanto dada la sucesión:

$\dst \frac{-3}{5 },\frac{6}{7 },-1,\frac{12}{11} ,...$ su término general es: $\dst a_n=\frac{(-1)^n \cdot 3n}{2n+3}$

Espero que te sirva. Si tienes dudad vuelve a preguntar.
¡Un saludo!

[javirk]

Re: Hallar el término general en una sucesión

Muchísimas gracias!

@_L_: Era de verdad
@angel relativamente: Muchas gracias por tu ayuda, ya me temía yo que había fórmulas para esto, que, aunque no nos hallan enseñado en el cole, voy a usar,

[angel relativamente]

Re: Hallar el término general en una sucesión

¿Has dado las progresiones geométrica y aritmética?