1r ciclo una desigualdad del tipo √p>0ñ. duda: si a>b, ¿que condiciones son necesarias para que a²>b²?

[javier m]

hola hola, tengo un problema con una desigualdad irracional, parece que no las estoy entendiendo del todo bien.

es esta

$$\dst\sqrt{x+1}+\dst\sqrt{x+5}\geqslant 0$$

ahora que escribo me doy cuenta que obviamente la solución no pertenece a los reales.

pero voy a seguir:
primero, se ha halla el intervalo de valores admitidos: IVA, ya lo hice.

despues la eliminación de radicales.

$\dst\sqrt{x+1}+\dst\sqrt{x+5}\geqslant 0$

elevo al cuadrado

$(\dst\sqrt{x+1}+\dst\sqrt{x+5})^2\geqslant 0$

$x+1+2\dst\sqrt{x+1}\sqrt{x+5} + x+5\geqslant 0$

opero

$$2x+6+2\dst\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}\geqslant 0$$

$$2\dst\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}\geqslant -2x-6$$

entonces, con la ecuación (1), me quedan 2 posibilidades: que -2x-6>=0 ó que -2-6<0.

$$E.R <br /> \left\{<br /> \begin{array}{cl}<br /> -2x-6\geqslant 0, \wedge , 2\dst\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}\geqslant -2x-6 \\<br /> -2x-6 < 0, \wedge , 2\dst\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}\geqslant -2x-6 <br /> \end{array}<br /> \right.$$

en el primer caso puedo elevar la expresión $2\dst\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}\geqslant -2x-6$ al cuadrado, porque impuse que $-2x-6\geqslant 0$ y así no se cambia el signo. Al final eso me dá vacio.

pero, ¿y en el segundo?, ¿como puedo hacer para eliminar el radical si sé que el primer lado de la igualdad es mayor que 0, y que el segundo es menor que 0 ?

[javier m]

Re: una desigualdad del tipo √p&gt;0ñ. duda: si a&gt;b, ¿que condiciones son necesarias para que a²&gt;b²?

pues, si $a,b>0$, y $a>b$ entonces $a^2>b^2$

ahora, si hago

$\dst\sqrt{x+1}\geqslant-\dst\sqrt{x+5}$

me quedaria el primer termino positivo, y el segundo negativo. y no se que pasa con el signo de la desigualdad cuando los términos tienen signos contrarios al elevarlos al cuadrado.

no se si se debe cambiar de signo, o como se hace.

[Jose D. Escobedo]

Re: una desigualdad del tipo √p&gt;0ñ. duda: si a&gt;b, ¿que condiciones son necesarias para que a²&gt;b²?

Hola
A mi me da la intersección de estos dos intervalos, de ver directamente la ecuación.

$x\geqslant -1$ intersección $x\geqslant -5$

$\Rightarrow x\geqslant -1$ que es la solución para lo reales
Saludos
Jose

[Jose D. Escobedo]

Re: una desigualdad del tipo √p&gt;0ñ. duda: si a&gt;b, ¿que condiciones son necesarias para que a²&gt;b²?

Hola
Sería mas interesante con algo negativo por ahí
Saludos
Jose

[javier m]

Re: una desigualdad del tipo √p&gt;0ñ. duda: si a&gt;b, ¿que condiciones son necesarias para que a²&gt;b²?

ahora que escribo me doy cuenta que obviamente la solución no pertenece a los reales.

ni es obvio, ni es cierto.
lo siento, pensé que ese >=, era un <

[javier m]

Re: una desigualdad del tipo √p&gt;0ñ. duda: si a&gt;b, ¿que condiciones son necesarias para que a²&gt;b²?

Hola
A mi me da la intersección de estos dos intervalos, de ver directamente la ecuación.

$x\geqslant -1$ intersección $x\geqslant -5$

$\Rightarrow x\geqslant -1$ que es la solución para lo reales
Saludos
Jose

gracias, pues lo que hallaste es el IVA, y pareciera que para este problema el IVA concuerda con la solución.

pero en general: $Sol: IVA$∩$E.R$

ya tengo el IVA que es ese que distes, y la eliminación de radicales es la que no me sale.

[Jose D. Escobedo]

Re: una desigualdad del tipo √p&gt;0ñ. duda: si a&gt;b, ¿que condiciones son necesarias para que a²&gt;b²?

Hola,Javier

De la afirmación, si $a,b > 0$ y $a>b\Rightarrow a^2>b^2$...(1)
Se puede decir que si $5>1\Rightarrow x+5>x+1$ de donde se argumenta que $(x+5)^\frac{1}{4 } >(x+1)^\frac{1}{ 4}$ es cierto para: $x+1\geqslant 0$ en los reales.
Ahora haciendo $a=(x+5)^\frac{1}{ 4}$ y $b=(x+1)^\frac{1}{4 }$ entonces $\sqrt{x+5} >\sqrt{x+1}$, de aqui le adiciono $\sqrt{x+1}$ a ambos lados $\Rightarrow \sqrt{x+5}+\sqrt{x+1} > 2\sqrt{x+1}$, pero como $x+1\geqslant 0\Rightarrow \sqrt{x+1}\geqslant 0$

Finalment obtengo $\sqrt{x+5} + \sqrt{x+1} \geqslant 0$ con la condicion de que:$x+1\geqslant 0$ ó $x\geqslant -1$

Saludos
Jose

[javier m]

Re: una desigualdad del tipo √p&gt;0ñ. duda: si a&gt;b, ¿que condiciones son necesarias para que a²&gt;b²?

gracias Jose, he usado los terminos IVA y E.R pensando que eran conocidos, pero, ahora que los pienso, ¿los conocen?
IVA: intervalo de valores admisibles y E.R: eliminación de radicales

[Al2000]

Re: una desigualdad del tipo √p&gt;0ñ. duda: si a&gt;b, ¿que condiciones son necesarias para que a²&gt;b²?

pues, si $a,b>0$, y $a>b$ entonces $a^2>b^2$

ahora, si hago

$\dst\sqrt{x+1}\geqslant-\dst\sqrt{x+5}$

me quedaria el primer termino positivo, y el segundo negativo. y no se que pasa con el signo de la desigualdad cuando los términos tienen signos contrarios al elevarlos al cuadrado.

no se si se debe cambiar de signo, o como se hace.

Javier, yo se que ya el asunto está resuelto, pero me gustaría comentar un poco el caso general de qué es lo que ocurre con la desigualdad si se eleva al cuadrado ambos miembros. Es la misma situación que tomar valor absoluto en ambos miembros y empiezo por allí. Simplemente voy a enumerar los cuatro casos posibles.

$$a \geqslant b \,\, \Rightarrow \, <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> &|a| \geqslant |b|,& &a \geqslant 0,\,b \geqslant 0 & &\text {ambos positivos, la desigualdad se conserva} \\<br /> &|a| \geqslant 0, & & a \geqslant 0,\,b \leqslant 0 & &\text {el menor negativo, siempre se cumple} \\<br /> &a = b = 0,& & a \leqslant 0,\, b \geqslant 0 & &\text {el mayor negativo, ambos miembros cero}\\<br /> &|a| \leqslant |b|, & & a \leqslant 0,\, b \leqslant 0 & &\text {ambos negativos, la desigualdad se invierte} <br /> \end{aligned}\right .<br />$$

El primer caso es obvio, si ambos son positivos o cero, tomar valor absoluto no hace nada. El último caso, siendo ambos negativos o cero, tomar valor absoluto es equivalente de multiplicar por -1 ambos miembros y la desigualdad se invierte. Los casos intermedios son los interesantes. Es claro que si el mayor es positivo o cero y el menor es negativo o cero, la desigualdad siempre se cumplirá, y si la situación es al revés, entonces la única solución posible es que ambos miembros sean nulos.

Ahora que tenemos la expresión como valores absolutos, podemos elevar al cuadrado tranquilamente:

$$a \geqslant b \,\, \Rightarrow \, <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> &a^2 \geqslant b^2,& &a \geqslant 0,\,b \geqslant 0 & &\text {ambos positivos, la desigualdad se conserva} \\<br /> &a^2 \geqslant 0, & & a \geqslant 0,\,b \leqslant 0 & &\text {el menor negativo, siempre se cumple} \\<br /> &a = b = 0,& & a \leqslant 0,\, b \geqslant 0 & &\text {el mayor negativo, ambos miembros cero}\\<br /> &a^2 \leqslant b^2, & & a \leqslant 0,\, b \leqslant 0 & &\text {ambos negativos, la desigualdad se invierte} <br /> \end{aligned}\right .<br />$$

En este ejercicio que trajiste, la desigualdad inicial

$$\sqrt {x+1} + \sqrt {x+5} \geqslant 0$$

se convierte en

$$\sqrt {x+1} \geqslant -\sqrt {x+5}$$

y si aceptamos que los valores de las raices son positivos, entonces estamos en el segundo caso, es decir que

$$\sqrt {x+1} \geqslant -\sqrt {x+5} \quad \Rightarrow \quad \left(\sqrt {x+1}\right)^2 \geqslant 0 \quad \Rightarrow \quad x \geqslant -1$$

Conste que no estoy diciendo que el ejercicio se deba resolver así. Simplemente estoy tratando de aclarar (tanto a ti como a mi mismo) lo que ocurre si se eleva al cuadrado ambos miembros de la desigualdad. Para mi la solución era obvia desde un principio, pues si aceptamos que las raices son positivas, la suma de dos valores positivos siempre será positiva, y la única restricción sería la de los valores posibles de los radicandos.

Bueno, dejémoslo de este color. Saludos,

Al

[javier m]

Re: una desigualdad del tipo √p&gt;0ñ. duda: si a&gt;b, ¿que condiciones son necesarias para que a²&gt;b²?

Javier, yo se que ya el asunto está resuelto

el asunto no estaba para nada resuelto, lo que estaba resuelto era el problema que es algo muy diferente y de menor valor

Al, no me alcanzarían 100 botones de gracias para agradecerte !!!!gracias,gracias,gracias,gracias,gracias,gracias,gracias,gracias,gracias, gracias .....¡¡¡¡

Gracias Al, de verdad.