1r ciclo Una igualdad que parece no entiendo. Ayuda, gracias ^_^

[_L_]

Bien es un problema muy facil que dice haya las derivadas direccionales de la siguiente funcion en el 0,0

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Bien pues hago las derivadas direccionales segun la definicion sea u=u_1,u_2 con u distinto de (0,0) ya que no tendria sentido

$\dst D_u f(0,0) = \lim_{h \to \ 0} \frac{f((0,0)+h(u_1,u_2))-f(0,0)}{h} =\lim_{h \to \ 0} \frac{\frac{hu_1h^3u_2^3}{h^3u_1^3+h^6u_2^6} }{h}=\lim_{h \to \ 0} \frac{u_1u_2^3}{u_1^3+h^3u_2^6}=\frac{u_2^2}{u_1}$
Siempre y cuando u_1 disntinto de 0 porque entonces el limite seria 0 luego llego a que las derivadas direccionales existen siempre y son:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Bien pues ahora se supone que la derivada segun una direccion u coincide con el vector de las derivadas parciales multiplicado por las coordenadas del vector en cuestion.

Pero aqui las derivadas parciales e_1 y e_2 son 0 y si yo por ejempolo hago el vector u=(3,2)

Segun las parciales su derivada es 0 lo cual se contradice con el 4/3 que me dan las direccionales.

Que hago mal? que no entiendo? Segun la teoria se cumple que sea diferenciable, que loe s porque existen todas las direccionales:

$\dst D_uf(0,0)=u_1 D_1f(0,0) + u_2D_2f(0,0)$

Pero como dije D_1 y D_2 son 0

Gracias espero la ayuda ^_^

[carroza]

Re: Una igualdad que parece no entiendo. Ayuda, gracias ^_^

Hola. Una función diferenciable es tal que la diferencia de F(x+h) con F(x) se puede aproximar por una función lineal de h (aqui, x y h son vectores de n componentes, h es un vector muy pequeño.).


http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_diferenciable


La existencia de derivadas direccionales es condición necesaria, pero no suficiente para que la función sea diferenciable.

Para ello, debe ocurrir que la derivada direccional sea una función lineal de las componentes u_1 y u_2.

[_L_]

Re: Una igualdad que parece no entiendo. Ayuda, gracias ^_^

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

vale y en este caso no es lineal luego no es diferenciable no?

$\dst f(\lambda a + \beta b)=f(\lambda a_1 + \beta b_1 , \lambda a_2 + \beta b_2)=\frac{(\lambda a_2 + \beta b_2)^2}{\lambda a_1 + \beta b_2}=\frac{\lambda^2 a_2^2 + \beta^2 b_2^2 +2 \lambda \beta a_2 b_2}{\lambda a_1 + \beta b_2}$ $\neq$$\dst \lambda f(a) + \beta f(b)= \lambda \frac{a_2^2}{a_1} + \beta \frac{b_2^2}{b_1 }=\frac{\lambda a_2^2 b_1 + \beta b_2^2 a_1}{a_1 b_1 }$

Esto seria no?

[carroza]

Re: Una igualdad que parece no entiendo. Ayuda, gracias ^_^

Bueno, es una forma algo larga de verlo.

Yo diria que, simplemente, $u_2^2/u_1$ no es, obviamente, una combinación lineal de $u_1$ y $u_2$.

[_L_]

Re: Una igualdad que parece no entiendo. Ayuda, gracias ^_^

si vamos por tener el cuadrado ya no puede ser lineal pero vamos eso es gracias ^_^