Divulgación Ayuda con el Teorema de Newton

[nature]

Saludos. Tengo una duda con el teorema de Newton o teorema del Binomio, en especifico cuando se trata de expandir una expresion de tipo $\frac{1}{(1-x^2)^n}$ cuando n es una fracción (no un entero para enfatizar).

Segun el teorema generalizado de Newton esta expresión se puede expandir así:

$\dst \frac{1}{(1-x)^n}=\sum_{k=0}^\infty {n+k-1 \choose n-1} x^k$

pero la definición del coeficiente binomial hace uso de los factoriales:

$\dst {n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

entonces, siendo n una fracción como puedo proseguir?

Se que la pregunta puede ser algo estupida y debo admitirlo soy un ignorante en el tema, pero he bajado unos cuantos pdf's con demostraciones del teorema pero nada sobre la duda planteada.

Agradecido de antemano.

[Al2000]

Re: Ayuda con el Teorema de Newton

Puedes leerlo aquí. En particular el cálculo por el que preguntas es $\dst {n \choose k} = \frac 1 {k!} \prod_{i = 0}^{k-1} (n-i) = \frac {n (n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)}{k!}$.

Saludos,

Al

[nature]

Re: Ayuda con el Teorema de Newton

Bueno Al voy a intentar resolver y lo mando pero aun no entiendo bien la cuestion... me explico! si tenemos:

$\dst \frac{1}{(1-x)^n}=\sum_{k=0}^\infty {n+k-1 \choose n-1} x^k$

y por ejemplo evaluamos en k=0 y n= 1/2:

$\begin{aligned}<br /> \dst {n \choose k}=&{\frac 12 + 0 -1 \choose \frac 12-1}\\<br /> \dst {n \choose k}=&{-\frac {1}{2} \choose -\frac {1}{2}}=1\\<br /> \end{aligned}$

esto ultimo (la igualdad a 1) es válido?

Luego para k=1

$\begin{aligned}<br /> \dst {n \choose k}=&{\frac 12 + 1 -1 \choose \frac 12-1}\\<br /> \dst {n \choose k}=&{\frac {1}{2} \choose -\frac {1}{2}}=\\<br /> \end{aligned}$

Aqui es donde me tranco por completo! a que es igual ese ultimo coefeciente binomial??

[Al2000]

Re: Ayuda con el Teorema de Newton

Mira, tendría que revisar un poco para poder afirmarlo con certeza, pero me atrevo a decir que esa expresión que pones sólo es válida para $n$ entero positivo. Te sugiero que uses

$\dst (x+y)^n = \sum_{k=0}^\infty {n \choose k} x^{n-k} y^k$

junto con la expresión en mi mensaje anterior para calcular los coeficientes:

$\dst <br /> \begin{aligned}<br /> (1-x)^{-1/2} &= \sum_{k=0}^\infty {{-1/2} \choose k} \cdot 1^{-(1/2) - k} \cdot (-x)^k \\<br /> &= {{-1/2} \choose 0}(-x)^0 + {{-1/2} \choose 1}(-x)^1 + {{-1/2} \choose 2}(-x)^2 + {{-1/2} \choose 3}(-x)^3 + \cdots \\<br /> &= 1 + (- \frac 1 2)(-x) + \frac {(-\frac 1 2)(-\frac 3 2)} 2 (-x)^2 + \frac {(-\frac 1 2)(-\frac 3 2)(-\frac 5 2)} 6 (-x)^3 + \cdots \\<br /> &= 1 + \frac 1 2 x + \frac 3 8 x^2 + \frac 5 {16} x^3 + \cdots <br /> \end{aligned}<br />$

Saludos,

Al