Otras carreras Derivada direccional

[alice]

Hola. Tengo que encontrar el vector $\vec{\nu }= (a,b)$ para el cual la derivada direccional respecto de dicho vector sea nula en el punto $({x}_{1} ,{x}_{2} ) = (0,0)$. La funcion esta definida mediante $f({x}_{ 1} ,{x}_{ 2}) = {{x}_{ 1}}^{2 } - {{x}_{ 2}}^{ 2}$

Bien, resumiendo, lo que hice fue lo siguiente:

${D}_{ \vec{\nu } } f(0,0) =$ $\ lim_{h \to \o}$ $\frac{f(0+ha, 0+hb) - f(0,0)}{h } = 0$

Luego de desarrollarlo, llegue a esto:

${D}_{ \vec{\nu } } f(0,0) =$ $\ lim_{h \to \o}$ $h ({a}^{ 2} - {b}^{2}) = 0$

Suponiendo que este bien, que quiere decir? Que para cualquier vector la derivada direccional va a ser nula? o que el vector es cualquier vector $\vec{\nu }= (a,b)$ siempre que $a=b$ ? Cuál sería la respuesta correcta?

Gracias! Y disculpen el tamaño de las ecuaciones. No se como aumentarlo (probe con el primer comando que aparece, pero no se bien como funciona)

[Al2000]

Re: Derivada direccional

Te respondo la parte de LaTeX. Si usas las etiquetas [TEX][/TEX] para incluir ecuaciones en la línea de texto, las fracciones se verán pequeñas para no impactar la altura de la línea. De manera que si escribes [TEX]\lim_{x \to 0} \frac a b[/TEX] se verá como $\lim_{x \to 0} \frac a b$. Si deseas que no se vean tan pequeñas las fracciones puedes incluir el comando \dst al principio de la ecuación: [TEX]\dst \lim_{x \to 0} \frac a b[/TEX] se verá como $\dst \lim_{x \to 0} \frac a b$. La otra posibilidad es hacer que la ecuación aparezca solita en una línea. Si usas las etiquetas [TEX=null][/TEX], la ecuación será centrada entre márgenes:

[TEX=null]\lim_{x \to 0} \frac a b[/TEX] se verá como

$$\lim_{x \to 0} \frac a b$$

Si usas las etiquetas [TEX=*][/TEX], la ecuación será centrada entre márgenes y numerada:

[TEX=*]\lim_{x \to 0} \frac a b[/TEX] se verá como

$$\lim_{x \to 0} \frac a b$$

Pásate por Cómo introducir ecuaciones en los mensajes y dedica algunos minutos a leer lo básico.

Saludos,

Al

[arreldepi]

Re: Derivada direccional

Hola, eso significa que será cero para cualquier a y b. Haciéndolo según un procedimiento más práctico y menos formal tenemos que:

$$\begin{aligned}&u=x^2-y^2 \\ & \vec x_0 = (0,0) \\ & \vec v = (a,b) \end{aligned},$$

entonces, la derivada según el vector $\vec v$ (que llamamos derivada direccional cuando $\vec v$ es unitario), se puede calcular en cartesianas mediante

$$\begin{aligned}D_{\vec v} u(\vec x_0) &= \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{\vec x_0}\cdot a +\left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{\vec x_0} \cdot b = 0 \\ &= 0 \cdot a + 0\cdot b = 0\end{aligned}$$

Es decir, que será cero sea cual sea el valor de a y de b.

Fíjate que (0,0) es un extremo de la función y allí el gradiente se anula. Con lo cual, sea cual sea el vector que tomemos, si el gradiente es nulo, la derivada direccional también lo será.

Saludos!

[alice]

Re: Derivada direccional

Gracias a ambos!

Saludos.