Secundaria Calcular inversa de una matriz

[roland]

Hola a todos,
No sé cómo hacer esta inversa ya que creo que es imposible hacer ceros alrededor de la diagonal debido a que tiene valores "a":

He empezado haciendo lo siguiente: F2 -F1 y F3 -2F1

qué debo hacer ahora????
Gracias.

[Cat_in_a_box]

Re: Calcular inversa de una matriz

Hola,

Supongo que querrás hacer ceros para calcular el determinante de una manera más sencilla...pues yo te diría que sí que los puedes hacer fácilmente, cogiendo como pivote el elemento de la matriz $a_{11}=1$ y haciendo ceros a lo largo de esa columna, de modo que:

$$F_2\longrightarrow F_2-F_1$$

$$F_3\longrightarrow F_3-2F_1$$

Si haces esos cambios en las filas, te quedará la siguiente matriz, en la que la primera columna son todos ceros, menos el uno que has cogido como pivote, obviamente:

$$\left( \begin{array}{ccc} 1 & a & 1 \\ 0 & (3-a)& (a-1) \\ 0 & -2a & 1 \end{array} \right)$$

El determinante lo calculas fácilmente como:

$$\left| \begin{array}{cc} (3-a)& (a-1) \\ -2a & 1 \end{array} \right|=2a^2-3a+3$$

A la vista de esto, el determinante se hace cero para dos números complejos, que si no me he equivocado son:

$$a=\dst\frac{3\pm\sqrt{15}\mathrm{i}}{14}$$

Ya con esto, sólo le tienes que echar paciencia y calcular la matriz adjunta y después su traspuesta, de modo que la matriz inversa será:

$$A^{-1}=\dst\frac{1}{|A|}\cdot (A^*)^t \quad\text{con}\quad a\neq \dst\frac{3\pm\sqrt{15}\mathrm{i}}{14}$$

Lo último te lo pongo para indicarte que esa será la matriz inversa; te dará en función del coeficiente $a$, y la matriz tendrá inversa si $a$ no es las raíces complejas que hacen que el determinante sea cero. Y paciencia, ya que el procedimiento es algo pesado...

Saludos,

[angel relativamente]

Re: Calcular inversa de una matriz

Por lo que parece, a ti te están pidiendo que lo hagas por gauss (un procedimiento mucho más complejo). Para hacerlo por gauss, el siguiente paso que deberías de hacer es:
$F_3\longrightarrow (3-a)F_3+(2a)F_2$

Así fíjate como hacemos 0 donde buscamos:

$(3-a)\cdot (-2a) + (2a) \cdot (3-a)= -6a+2a^2+6a-2a^2=0$

Luego se nos quedaría una cosa así:

$$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & a & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 3-a& a-1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & -2a & 1 & -2 & 0 & 1\end{array} \right)\quad \Rightarrow \quad \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & a & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 3-a& a-1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2a^2-3a+3 & -6 & 2a & 3-a\end{array}\right)$$

Si ahora haces gauss hacia arriba te va a quedar una cosa muy fea. Pero bueno, tras hacer todas las operaciones nos queda una cosa así:

$$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \dfrac{9}{2a^2-3a+3} & \dfrac{-3a}{2a^2-3a+3} & \dfrac{a^2-3}{2a^2-3a+3}\\ 0 & 1& 0 &\dfrac{2a-3}{2a^2-3a+3} & \dfrac{1}{2a^2-3a+3} & \dfrac{1-a}{2a^2-3a+3}\\ 0 & 0 & 1 & \dfrac{-6}{2a^2-3a+3} & \dfrac{2a}{2a^2-3a+3} & \dfrac{3-a}{2a^2-3a+3}\end{array}\right)$$

Y según parece, no existe ningún valor (real) para el cual el denominador se haga 0. Luego esa sería su inversa

Saludos, Ángel