Otras carreras Ecuaciones de Diofanto

[privet123]

Hola, necesito ayuda para hacer dos problemas de ecuaciones diofanticas.. apenas las hemos visto en clase asique de momento estoy muy verde
El primero es este:

Asi es como he planteado la ecuación:
7x-9y=1 Creen que lo he hecho bien???
Despues he despejado la incognita cuyo coeficiente es menor:
7x=1+9y
x= 1+9y / 7
y ya no sé como seguir... alguna idea???

El segundo es este:

Creo que su ecuación podia ser esta: 68x=20y-32 ... pero muy probablemente este equivocada.. ustedes que creen????

Gracias.

[beliytxuri]

Re: Ecuaciones de Diofanto

Privet, privet123!

Igual es ya un poco tarde para contestar a este mensaje, pero me ha parecido interesante por el tema tratado: las ecuaciones diofánticas, viejas como la humanidad, pero injustamente apartadas de los modernos planes de estudio. Y, como veo que nadie te había contestado, pues aquí está mi pequeña aportación para evitar que los temas se queden colgados.

Empecemos con el problema de los cubos de agua. Tu planteamiento no es incorrecto en principio, aunque no aclaras el significado de las incógnitas $x$ e $y$.
Si $x$ es el número de veces que se llena el cubo grande e $y$ el número de veces que se llena el cubo pequeño, de lo que se trata es de resolver la ecuación $9x+7y=1$ en números enteros.
Las ecuaciones diofánticas se resuelven usando el algoritmo de Euclides para el cálculo del mcd. Veamos cómo:

$9=7.1+2 \Rightarrow 2 = 9-7\mapsto \downarrow$
$7 =2.3+1 \Rightarrow 1=7-2.3=7-(9-7).3=9.(-3)+7.4$

O sea, la solución es llenar 4 veces el cubo pequeño y llenar -3 veces (vaciar) el cubo grande.
Veamos la secuencia, donde G es el cubo grande (de 9 litros) y P es el cubo pequeño (de 7 litros):
G P
0 0
0 7 Llenamos por 1ª vez el cubo pequeño
7 0 Trasvase
7 7 Llenamos por 2ª vez el cubo pequeño
9 5 Trasvase
0 5 Vaciamos por 1ª vez el cubo grande
5 0 Trasvase
5 7 Llenamos por 3ª vez el cubo pequeño
9 3 Trasvase
0 3 Vaciamos por 2ª vez el cubo grande
3 0 Trasvase
3 7 Llenamos por 4ª vez el cubo pequeño
9 1 Trasvase
0 1 Vaciamos por 3ª vez el cubo grande y voilà!

Vamos ahora con el segundo problema. Ahí sí te falla el planteamiento.
El fabricante ha vendido N equipos en contenedores de 68 unidades, o sea, $N=68x$, donde $x$ es el número de contenedores.
A su vez, el distribuidor lo reparte entre sus furgonetas a razón de 20 por vehículo y le sobran 32, o sea, $N=20y+32$, donde $y$ es el número de furgonetas.
Igualamos y la ecuación diofántica a resolver es: $68x-20y=32$.
Dividimos por 4 y obtenemos: $17x-5y=8$.

Volvemos a aplicar el algoritmo de Euclides:
$17=5.3+2 \Rightarrow 2=17-5.3$
$5 = 2.2+1 \Rightarrow 1=5-2.2=5-2(17-5.3)=17.(-2)-5.(-7)$

Y, multiplicando ambos miembros por 8, se obtiene una solución de la ecuación:
$8=17.(-16)-5.(-56)$.
Así $x=-16$ e $y=-56$ es una solución particular.

Y digo UNA solución particular, porque las ecuaciones diofánticas del tipo $Ax+By=C$ o bien no tienen solución, o bien tienen infinitas.

Si el mcd(A,B) no divide a C, entonces no hay solución.
En caso contrario, existen siempre infinitas soluciones de la forma:
$<br /> x={x}_{p } - \lambda B<br />$
$<br /> y={y}_{p } + \lambda A<br />$
donde $\lambda \in Z$ y $({x}_{p },{y}_{ p})$ es una solución particular que se puede hallar aplicando el algoritmo de Euclides, como hemos visto antes. (Basta con sustituir en la ecuación $Ax+By=C$ las expresiones para $x$e $y$ para verificar que efectivamente son soluciones):

Como la solución particular que hemos hallado (-16, -56) no satisface evidentemente el problema, habrá que buscar cuál de las infinitas soluciones encaja.

Así por ejemplo, sabemos que $1000<68x<1500$, donde $x=-16+5\lambda$ (la solución general).

Resolvamos pues la desigualdad
$1000<68(-16+5\lambda )<1500$; $1000<-1088+340\lambda <1500$; $2088<340\lambda <2588$; $6'1<\lambda <7'6$

Lo que obliga a $\lambda =7$.

En definitiva, la solución es $x = -16+5.7=19$ contenedores y, por tanto, $N=68x=1292$ equipos.

Comprobamos con la $y=-56+17\lambda=-56+17.7= 63$ furgonetas. Lo que es correcto, pues $1292=20.63+32$.

Espero que os haya gustado. Un saludo general.