1r ciclo Sobre un límite

[eduardo2384]

Saludos amigos quisiera que me ayudarán en la resolución de éste límite:

$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\ln(\sin\alpha x)}{\ln(\cos\beta x)}$

No se puede aplicar las reglas de L'Hôpital pues la indeterminación es del tipo:$\dfrac{-\infty}{0}$. Intenté aplicar propiedades de logaritmo natural pero sin éxito ¿que se podría hacer?

Gracias

[neometalero]

Re: Sobre un límite

No se puede aplicar? Seguro? Has probado? Por lo que he leído no dice nada que no se pueda aplicar en este caso.

[eduardo2384]

Re: Sobre un límite

Se supone que la regla de L'Hôpital se usa solo para indeterminaciones del tipo $\dfrac{\infty}{\infty}$ o $\dfrac{0}{0}$, pero aqui sale mezclado

http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_l%27H%C3%B4pital

Ese es mi problema.

[Cat_in_a_box]

Re: Sobre un límite

Hola,

El primer paso para la resolución de este problema puede ser aplicar la propiedad de los límites, según la cual, el límite de un cociente es igual al cociente de los límites, siempre que el límite del denominador no sea cero, es decir:

$$\lim_{x\to 0}\dst\frac{\ln(\sin\alpha x)}{\ln(\cos(\beta x)}=\dst\frac{\dst\lim_{x\to 0}\ln[\sin(\alpha x)]}{\dst\lim_{x\to 0}\ln[\cos(\beta x)]}$$

A partir de ahí, aplica el concepto de continuidad, haciendo que el límite del logaritmo sea el logaritmo del límite, igual que con el seno y el coseno y finalmente saca las constantes alfa y beta.

Saludos,

[eduardo2384]

Re: Sobre un límite

Cat_in_a_box, pense que la propiedad era:

$\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln{a}-\ln{b}$

pero tu me dices que :

¿¿ $\dfrac{\ln a}{\ln b}=\ln{(a-b)}$ ????

Disculpa mi ignorancia pero, ¿de donde sale esa propiedad??

[angel relativamente]

Re: Sobre un límite

El gato que, con su vista de felino, ve propiedades que el humano es incapaz de percibir (perdona por mi humor tan poco apropiado, cat).

Tienes razón Eduardo, la regla correcta es la primera, que no veo que se pueda aplicar a este problema, al menos no para partir de ella.

[dvc]

Re: Sobre un límite

eduardo, creo que no hace falta aplicar las reglas de L'Hôpital ni nada:
El numerador tiende a $-\infty$ y el denominador tiende a 0. Fíjate que el coseno es siempre menor que 1, por tanto, el denominador tenderá a 0 con valores negativos.
Por tanto tienes que el límite cuando x tiende a 0 es $+\infty$. (supongo que alfa y beta son distintos de 0)

[Cat_in_a_box]

Re: Sobre un límite

Ya lo he editado, lo siento, tenéis razón, no sé qué me ocurrió ayer

Saludos,