Otras carreras ayuda con demostracion det(I-H)=0

[dm89]

Buenas Tardes,

he estado trabajando en la siguiente demostracion, pero no he podido con ella; les agradezco que me ayuden con ella.

deduzca qeu si H es una matriz ortogonal propia entonces det (I-H)=0.

Donde I es la matriz identidad.

como H es ortogonal Hx(H traspuesta)=I, es decir, que la traspuesta de H es su inversa.
como H es propia det(H)=1.

Gracias por su ayuda.

[SO3]

Re: ayuda con demostracion det(I-H)=0

Tal y como lo has enunciado eso es falso, depende de la dimension, me imagino que estes trabajando en dimension 3 y te haya parecido superfluo ponerlo pero no lo es.

Esencialmente el ejercicio lo que te pide es que pruebes que una isometria que preserva la orientacion ( una rotacion) tiene un punto fijo, es decir, que el espectro de H contiene al 1.

Sin embargo, como antes te comentaba eso es falso en general. Por ejemplo, en dimension 2 las rotaciones no tienen puntos fijos (no nulos), su espectro es i y -i.

En dimension impar, una posible via de ataque es probar en primer lugar que el espectro esta contenido en la circunferencia unidad, en segundo lugar, gracias a la imparidad, que al menos un elemento del espectro es real, 1 o -1, y despues utilizar la condicion de propia junto a la imparidad para descartar la posibilidad de que todos los autovalores reales sean -1.