1r ciclo Dominio de convergencia de serie compleja

[luciano_boca]

Muy buenas, estoy intentado sacar el dominio de convergencia de una serie, pero le he echado todo el día y no consigo hacer nada:

$<br /> \sum_{n = 0}^\infty ( \frac{2}{ 1+{e}^{ 2Z} })^{n } <br />$
siendo Z un número complejo

Sí llamo:

$w=\frac{2}{ 1+{e}^{ 2Z} }$

converge a la serie geométrica de razón w

Pero para ello tiene que darse que $\left\vert{w} \right\vert{} < 1$

Que es lo que no consigo demostrar, arreglando un poco la inecuación, si no me he equivocado, se llega a:

$\left\vert{1-{e}^{ 2Z} } \right\vert{} >2$ que solo es valido para cuando no se anula el denominador, cuando llego aquí no se que hacer, he intentado:

z=x+iy

pero llego a 2x>ln1=0+ikpi

y no me convence

Me ayudáis a trazar el camino?

[Umbopa]

Re: Dominio de convergencia de serie compleja

Hombre , y el criterio d'Alembert?

lim n-> inf [ A_n+1 /A_n ] < 1

lim n-> inf {2/(1+e^2z)]^(n+1)} / {2/(1+e^2z)]^n} = 2/(1+e^2z)] < 1

---> Abs {(1+e^2z)} < 2 --> Abs { 1+ e^2x cos(2y) + i*e^2x sin(2y) } < 2 -----> (1+e^2x cos(y))^2 + e^4x sin(2y)^2)^(1/2) < 2

----> 2 < (1+2e^2x cos(y) +e^4x ) ^(1/2) y esto es una ecuación de segundo grado para e^2x no?

[xXminombreXx]

Re: Dominio de convergencia de serie compleja

El LaTeX ese debe ser alguna invención del demonio que no lo usamos. Por favor, así no se puede leer, además con sólo poner las etiquetas la mayoría ya va a salir bien.

[luciano_boca]

Re: Dominio de convergencia de serie compleja

con el criterio del cociente llegas al mismo sitio.

Lo que sí, no había visto resolverla como ecuación de segundo grado, muchas gracias!