1r ciclo Radio espectral

[kuvala]

Hola Buenas:

A ver si me pudieran ayudar en esto, puesto que aplico dos razonamientos para llegar a lo mismo (uno de ellos no sé si es del todo correcto) y sin embargo no obtengo lo mismo.

1º Razonamiento:

Sea A una matriz mxn y sea $x$ un vector de n componentes, entonces

$\left\vert{} \left\vert{}Ax \right\vert{} \right\vert{}=\sqrt{({Ax}^{T })(Ax) } =\sqrt{{x}^{ T}{A}^{ T}Ax }=\sqrt{{x}^{T }\lambda x }=\sqrt{\lambda {x}^{T }x }=\sqrt{\lambda }\left\vert{}\left\vert{}x \right\vert{} \right\vert{}$

Sustituyendo lo que nos ha obtenido, que es esto $\left\vert{} \left\vert{}Ax \right\vert{} \right\vert{}=\sqrt{\lambda } \left\vert{}\left\vert{}x \right\vert{} \right\vert{}$

en $\left\vert{}\left\vert{} Ax \right\vert{} \right\vert{}\leqslant \left\vert{}\left\vert{}A \right\vert{} \right\vert{}\left\vert{}\left\vert{}x \right\vert{} \right\vert{}$

llegamos finalmente a que $\left\vert{}\left\vert{}A \right\vert{} \right\vert{}\geqslant \sqrt{\lambda }$

Sin embargo, por este otro razonamiento llegamos a:
Teniendo en cuenta $Ax=\lambda x$

Sustituyendo
en $\left\vert{}\left\vert{} Ax \right\vert{} \right\vert{}\leqslant \left\vert{}\left\vert{}A \right\vert{} \right\vert{}\left\vert{}\left\vert{}x \right\vert{} \right\vert{}$

llegamos a $\left\vert{}\left\vert{}A \right\vert{} \right\vert{}\geqslant \left\vert{}\lambda \right\vert{}$

Vemos que la expresión que hemos obtenido es igual que utilizando el 1º razonamiento, pero en esta ocasión, $\lambda$ no está metida en una raíz.

¿Qué es lo que he hecho mal?

Muchas gracias

Un Saludo

[juantv]

Re: Radio espectral

si $\dst y > \sqrt{y}$ , y $\dst x > y$ entonces tambien es cierto que $\dst x>\sqrt{y}$

$$\dst x>y$$

$$\dst x>\sqrt{y}$$

ambos son resultados verdaderos.

[kuvala]

Re: Radio espectral

si $\dst y > \sqrt{y}$ , y $\dst x > y$ entonces tambien es cierto que $\dst x>\sqrt{y}$

$$\dst x>y$$

$$\dst x>\sqrt{y}$$

ambos son resultados verdaderos.

Hola :

Pues sí, razón no te falta, aunque eso es cierto en general. La respuesta a lo que estaba preguntando creo que ya la tengo. La voy a poner por si le sirve a alguien.

En el primer razonamiento dije que tras unos cálculos se llegaba a
$\left\vert{} \left\vert{}Ax \right\vert{} \right\vert{}=\sqrt{\lambda } \left\vert{}\left\vert{}x \right\vert{} \right\vert{}$

que sustituyendo en $\left\vert{}\left\vert{} Ax \right\vert{} \right\vert{}\leqslant \left\vert{}\left\vert{}A \right\vert{} \right\vert{}\left\vert{}\left\vert{}x \right\vert{} \right\vert{}$

Teniamos finalmente $\left\vert{}\left\vert{}A \right\vert{} \right\vert{}\geqslant \sqrt{\lambda }$

Por otro lado, tras otro razonamiento y otros cálculos llegábamos a este otro resultado
$\left\vert{}\left\vert{}A \right\vert{} \right\vert{}\geqslant \left\vert{}\lambda \right\vert{}$

Mi duda era que aparentemente los dos son distintos y por tanto, tenía que haber algún fallo, pero lo cierto es que (desde mi punto de vista) los dos son distintos y los dos están bien. La razón no es otra que se estaba empleando una misma letra para indicar autovalores de matrices distintas, es decir, se estaba utilizando la letra $\lambda$ para indicar que era un autovalor de la matriz resultante del producto ${A}^{T }A$ y por otro lado, se estaba utilizando la misma letra para indicar que era un autovalor pero de la matriz A, el cual no tiene por qué ser igual que el autovalor de ${A}^{T }A$.

Entonces, la confusión se termina en el momento que le damos otra notación a los autovalores de matrices distintas, es decir, a los autovalores de ${A}^{T }A$ se le podría dar la letra $\sigma$ y a los de A la propia $\lambda$. Quedaría así:

1º Razonamiento: $\left\vert{}\left\vert{}A \right\vert{} \right\vert{}\geqslant \sqrt{\sigma }$

2º Razonamiento: $\left\vert{}\left\vert{}A \right\vert{} \right\vert{}\geqslant \left\vert{}\lambda \right\vert{}$

Muchas gracias de todas formas

Un Saludo

[skinner]

Re: Radio espectral

Efectivamente así es.

Un saludo