Otras carreras Extremo de funcion

[Gaz]

Hola! alguien me puede ayudar? necesito saber cómo se hace en este caso el extremo de esta funcion: x^3y^3, el resultado se que es que no tiene maximos ni minimos y es un punto de silla.
pero esta funcion: x^4y^4 si tiene maximos y minimos y eso, y no entiendo por que.
si haciendo el hessiano y su determinante da cero igual!

Gracias!

[Cat_in_a_box]

Re: Extremo de funcion

Hola Gaz,

La verdad es que cuando vi el ejercicio me lancé a calcular la Hessiana y a aplicar Sylvester pero el criterio no decide, como tú decías. Entonces, me propuse aproximar la función mediante su desarrollo de Taylor a orden dos para ver a qué se parecía la función cerca del origen...pero claro, la matriz de derivadas parciales segundas es cero, así que poco se puede hacer.

Así que, cuando tenemos un caso ''complicado'' de este tipo, lo que tenemos que hacer es estudiar de alguna forma el entorno del punto que hemos calculado como crítico.

Recuerda que si en el entorno de un punto, sea $(x_0,y_0)\in \mathcal {R}^2$ no hay extremo, esto es, existe un punto de silla, entonces existe un camino $\mathcal C(t):\mathcal{R}\to\mathcal{R}^2$ que pasa por dicho punto en un $t_0$. De modo que podemos aproximarnos al punto de forma tal que $f(\mathcal{C}(t))$ presente un punto de silla en el $t_0$ que hemos dicho.

Lo bueno es que en dicho punto podemos hacer el análisis fácilmente, ya que tenemos una función de una sóla variable, o sea: $f:\mathcal R\to\mathcal R$.

Lo más sencillo, y lo que suele funcionar, es aproximarnos al origen mediante rectas de pendiente arbitraria (si has visto límites de varias variables, este mismo método se utiliza frecuentemente para acercarnos al punto deseado). Ahora no tengo mucho tiempo, pero puedes probar por ese camino...

Esta es la manera más formal, por lo menos que yo conozca, de decir que en el origen la función que te dan tiene un punto de silla. Como ves, es bastante rollo si el criterio de Sylvester no decide...

Saludos,

[xXminombreXx]

Re: Extremo de funcion

Así, intuitivamente, x^4y^4 es función par siempre positiva, si algo tiene será un mínimo, sin embargo, x^3y^3, cuando una sea negativa y otra positiva será negativa, y si son ambas positivas o ambas negativas, será positiva, así que se espera punto de silla.

Como muy bien dice cat, lo mejor es ver qué pasa aproximándose a la función. Como he dicho, cuando la x sea de diferente signo a la y pasará algo diferente a lo que pase cuando sean de igual signo, así que podemos probar con x=-y: $x^3y^3 = -x^6$, que tiene forma de parábola y un máximo clarísimo en el 0. Cuando sea de ambos signos, x = y: $x^3y^3 = x^6$, esta vez un mínimo. Lo que hemos hecho ha sido acercarnos por las bisectrices de los cuadrantes que definen los ejex x e y, y hemos visto que en uno se forma un mínimo y en otro un máximo, debe ser un punto de silla, ya que crece en unas direcciones, y decrece en otras, además de ser una función continua y tener derivadas parciales nulas.

A hacer el desarrollo de taylor tampoco le veo mucho sentido, porque la función YA es un polinomio. Si haces el desarrollo completo llegarás a lo mismo que tenías al principio. Sólo era necesario mirar las derivadas parciales y ver que se anulaban ambas en (0,0).

Un saludo.