Olimpiada Primer Problema Olimpiada Nacional Española Matemática.

[Sheldoniano]

Bueno pues hagamos un poco de matemáticas también no? Os lo dejo propuesto a ver que sacáis. Yo lo hice con mi profesor y la versión fácil de resolución no está al alcance de un estudiante de bachillerato, hay una más larga que pudiera valer pero tampoco es fácil de llegar a ella. Bueno sin más paja por delante os dejo el problema en sí:

Determinar razonadamente si el número

$\lambda_n=\sqrt {3n^2+2n+2}$

es irracional para todo entero no negativo

Que se os dé bien. Un saludo

[angel relativamente]

Re: Primer Problema Olimpiada Nacional Española Matemática.

Tengo una demostración bastante poco rigurosa y seguro que mal hecha, pero ahí va:

Procederemos a demostrarlo por reducción al absurdo.
Supongamos que $\lambda_n$ es racional. Entonces podríamos escribirlo de la forma:

$\lambda_n=\sqrt{R^2}$

Siendo R un número racional. Sabemos que $\forall n \in \mathbb{R}$ el polinomio $3n^2+2n+2$ no tiene raíces reales, por tanto no podrá factorizarse como $R^2$ y consecuentemente $\lambda_n$ no puede ser racional.
Hemos llegado a que $\lambda_n$ ha de ser irracional o imaginario. Pero puesto que no hay valor de n para que $3n^2+2n+2$ sea negativo, entonces $\lambda_n$ ha de ser irracional.

La verdad no lo he meditado mucho, y a grandes rasgos parece que está mal porque no he tomado la condición "para todo entero no negativo".
¿Alguien se anima a encontrarme el error?

Un saludo,

[Sheldoniano]

Re: Primer Problema Olimpiada Nacional Española Matemática.

Eso de que no tiene raíces reales no lo demuestras? Precisamente demostrando eso demuestras lo que te piden. Y sí, si n es entero positivo ese polinomio siempre va a ser positivo.
Ánimo

[angel relativamente]

Re: Primer Problema Olimpiada Nacional Española Matemática.

Eso de que no tiene raíces reales no lo demuestras? Precisamente demostrando eso demuestras lo que te piden. Y sí, si n es entero positivo ese polinomio siempre va a ser positivo.
Ánimo

¿Cómo quieres que demuestre que no tiene raíces reales?

Es tan básico como ver que la ecuación $3n^2+2n+2=0$ no tiene solución en los reales.
¿Qué me estoy perdiendo?

[juantv]

Re: Primer Problema Olimpiada Nacional Española Matemática.

Determinantes

[rarar]

Re: Primer Problema Olimpiada Nacional Española Matemática.

$\lambda_n=\sqrt{3n^2+2n+2}$
$3n^2+2n+2=(an+b)^2=a^2n^2+2abn+b^2$
$a=\sqrt{3}$
$b=\sqrt{2}$
$2\sqrt{3}\sqrt{2}\not=2$
Absurdo
Las raíces de $3n^2+2n+2$ son complejas:

$n=\frac{-2 \pm\sqrt{4-24}}{6}$
raíces imaginarias
Perdón por error anterior

[Sheldoniano]

Re: Primer Problema Olimpiada Nacional Española Matemática.

Vale, según lo hemos resuelto en clase y lo están haciendo también en gaussianos es por aritmética modular. En (mod 4) sale bastante corto