¿postulado de rarar?

[rarar]

Re: ¿postulado de rarar?

Muchas gracias, arivasm.
Un cordial saludo.

[arivasm]

Re: ¿postulado de rarar?

Hola rarar

Sólo es para decirte que la demostración de la propiedad 2) es idéntica a la que recogí anteriormente para la propiedad 1). Se ve de manera muy inmediata si defines los polinomios $Q_k(n)=(n+1)(n+2)...(n+k)=\dst \sum_{i=0}^k b_{k,i} n^i$, pues los $b_{k,i}= |a_{k_i}|$ y entonces se cumple que $b_{k,i}=b_{k-1,i-1}+k b_{k-1,i}$, es decir, $|a_{k,i}|=|a_{k-1,i-1}|+k |a_{k-1,i}|$.

A partir de aquí la demostración es, como dije antes, prácticamente idéntica a la de la 2), por lo que me ahorraré, con tu permiso, el trabajo de teclearla.

Intentaré darle algunas vueltas a las demás propiedades que has indicado.

Saludos!

[rarar]

Re: ¿postulado de rarar?

Gracias, Arivasm. No entendía tu anotación. Me ha costado, pero ya entiendo. Bien.
He hallado $a_{k-4}$, aunque es un poco aberrante. Me lo he currado

$a_{k-4} = \frac{15k^8+300k^7+2510k^6+11352^5+29855k^4+45420k^3+36740k^2+12048k}{5760}$
Creo que mi hoja de cálculo me impide hallar más. Además, creo que deja de ser interesante, al "costar" más el esfuerzo que el resultado en sí. Es decir, casi cuesta menos multiplicar directamente.
He encontrado algunas otras propiedades curiosas, pero creo que tienen poca importancia.
Me encantaría que siguieses testando "mis propiedades", por si encuentras algún error.
Voy a investigar un poco, para ver si el salto de $n\epsilon N \text{ a } n\epsilon R$, es posible. Tendría, posiblemente, su importancia de cara a la aproximación de ciertas funciones, en un intervalo deseado.
Un cordial saludo.

[arivasm]

Re: ¿postulado de rarar?

Usaré la notación anterior: $\dst P_k(n)=\sum_{i = 0}^k a_{k,i} n^i$.

Como $P_k(n)=(n-k)P_{k-1}$, tenemos que

$\dst P_k(n)=(n-k)\sum_{i = 0}^{k-1} a_{k-1,i} n^i=\sum_{i = 0}^{k-1} a_{k-1,i} n^{i+1}-\sum_{i = 0}^{k-1} k a_{k-1,i} n^i$

Es decir

$\dst P_k(n)=\sum_{i = 1}^{k} a_{k-1,i-1} n^i-\sum_{i = 0}^{k-1} k a_{k-1,i} n^i$

Agrupando términos del mismo exponente:

$\dst P_k(n)=a_{k-1,k-1}n^k + \sum_{i = 1}^{k-1} (a_{k-1,i-1}-k a_{k-1,i}) n^i-k a_{k-1,0}$

Luego

$$a_{k,k}=a_{k-1,k-1}=...=a_{1,1}=1$$

$$a_{k,0}=-k a_{k-1,0} =k(k-1)a_{k-2,0}= ...=(-1)^k k!$$

$$a_{k,i}=a_{k-1,i-1}-k a_{k-1,i}$$

[rarar]

Re: ¿postulado de rarar?

$$a_{k,i}=a_{k-1,i-1}-k a_{k-1,i}$$

donde la (3) resulta inmediatamente de la construcción del término independiente y la (4) se aplica para $i \neq 0, k$.

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Arivasm, estoy analizando tu demostración, y tengo dudas de la corrección de la propiedad, que expones. Puede ser que no acabe de entenderla.
Si me la puedes aclarar.
Recibe un cordial saludo.

[rarar]

Re: ¿postulado de rarar?

Ahí va otra¡
Gracias Arivasm por tu interés.

$\text{ 7) }a_{k-3}= \frac{(k-2)^6+11(k-2)^5+47(k-2)^4+97(k-2)^3+96(k-2)^2+36(k-2)}{48}$

Se podría con esta fórmula calcular los coeficientes hasta k=6, con fácil operación aritmética.
Un cordial saludo

[arivasm]

Re: ¿postulado de rarar?

Por ahora sólo me he metido en la relación recursiva que construye los "números de rarar". Si expresas el polinomio como

$$P_k(n)=\sum_{i = 0}^k a_{k,i} n^i$$

las relaciones evidentes son las siguientes:

$$a_{k,k}=1$$

$$a_{k,0}=(-1)^k k!$$

$$a_{k,i}=a_{k-1,i-1}-k a_{k-1,i}$$

donde la (3) resulta inmediatamente de la construcción del término independiente y la (4) se aplica para $i \neq 0, k$.

Como ejemplo de que quizá sí se pueda aplicar la demostración por inducción para alguna de ellas, demostraré la 1.

En primer lugar comprobamos que ciertamente se cumple para k=1. Así pues, supondremos que se cumple para k-1 y veremos si se cumple para k.

Para usar (4), primero descomponemos la suma de esta manera

$\dst \sum_{m=0}^k a_{k,m} = 1 + \sum_{m=1}^{k-1} a_{k,m} + (-1)^k k!$

y entonces

$\dst \sum_{m=0}^k a_{k,m} = 1 + \sum_{m=0}^{k-2} a_{k-1,m} - k \sum_{m=1}^{k-1} a_{k-1,m} + (-1)^k k!$

Ampliemos las sumas de manera que cubran todos los términos:

$\dst \sum_{m=0}^k a_{k,m} = 1 + \left( \sum_{m=0}^{k-1} a_{k-1,m} - a_{k-1,k-1} \right) - k \left( \sum_{m=0}^{k-1} a_{k-1,m} - a_{k-1,0} \right) + (-1)^k k!$

Como, por hipótesis, se cumple la propiedad 1, luego:

$\dst \sum_{m=0}^k a_{k,m} = 1 - a_{k-1,k-1} + k a_{k-1,0} + (-1)^k k! = 0$

donde el resultado nulo se justifica porque $a_{k-1,k-1}=1$ y

$k a_{k-1,0} + (-1)^k k!=k(-1)^{k-1} (k-1)! + (-1)^k k!=(-1)^{k-1} \left(k! - k! \right)= 0$

[arivasm]

Re: ¿postulado de rarar?

La 3) la 4) y la 5) son evidentes. Encuentro más interesantes las demás aunque me da la sensación que se podrían demostrar por inducción (pero, francamente, no lo he intentado). En cualquier caso, enhorabuena por tu capacidad de observación.

[rarar]

He estado estudiando un poco de matemáticas y, al resolver algunas cuestiones, me ha surgido un “problemilla”, que al analizarlo me ha llevado a encontrar unas propiedades curiosas. He estado mirando páginas (muchas) en Internet y no he visto referencia a ellas.
Las comparto con vosotros. Lo llamaré Postulado de rarar, ya que las he deducido, pero no demostrado. ¡Pero sí se cumplen!
$\text{Sean } a_i, k, n \epsilon N$
$P_k = (n-1)(n-2)\ldots (n-k)=a_kn^k-a_{k-1}n^{k-1}\ldots +(-1)^{k-1}a_1n+(-1)^ka_0$
$\text{Propiedades:}$
$\text{ 1) } \sum_{i=0}^{k}a_i = 0$
$\text{ 2) } \sum_{i=0}^{k}\left\vert{a_i} \right\vert{} = (k+1)!$
$\text{ 3) }a_k=1$
$\text{ 4) }a_0=(-1)^kk!$
$\text{ 5) }a_{k-1}=-k \frac{k+1}{2}$
$\text{ 6) }a_{k-2}= \frac{3(k-1)^4+14(k-1)^3+21(k-1)^2+10(k-1)}{24}$
Seguiré analizando para ver si descubro más propìedades.
Si habéis visto algo sobre este tema, os agradeceré que me lo indiquéis.
Un saludo.