¿postulado de rarar?

[rarar]

Re: ¿postulado de rarar?

Hola arivasm.
Sí, la verdad es que me costaba entender la notación.
Las últimas fórmulas, ya no necesitan de sumatorios, ni suma de inversos, que resultaba muy "engorroso".
Ahora ya se pueden calcular todas las $a_i$, del polinomio que queramos.
Sigo liado con el estudio, porque sigo viendo "cosas curiosas"
Recibe un cordial saludo.

[arivasm]

Re: ¿postulado de rarar?

¡Hola rarar!

Veo que ya has encontrado conveniente mi notación de dos índices (yo los ponía al revés: primero el del grado del polinomio, después el grado del coeficiente correspondiente). Pero también veo que, quizá por no manejar esa notación, en su momento no me entendiste la relación de recurrencia (4) de este post en este mismo hilo!

PD: Sigo liado con tus polinomios. Ya tengo una demostración, por inducción, de (la reescribo con tu orden de los índices)

$\dst a_{\alpha,k}=(-1)^{k-\alpha} k! \sum_{p_1=\alpha}^k \frac{1}{p_1} \sum_{p_2=\alpha-1}^{p_1-1} \frac{1}{p_2} \sum_{p_3=\alpha-2}^{p_2-1} \frac{1}{p_3}...\sum_{p_\alpha=1}^{p_{\alpha-1}-1} \frac{1}{p_\alpha}$

y de

$\dst a_{k-i,k}=(-1)^i \sum_{p_1=i}^k p_1 \sum_{p_2=i-1}^{p_1-1} p_2 \sum_{p_3=i-2}^{p_2-1} p_3 ... \sum_{p_i=1}^{p_{i-1}-1} p_i$

[rarar]

Re: ¿postulado de rarar?

Me ha costado, pero creo haber hallado la fórmula general, que obtiene todos los $a_i$
Los tendré que escribir con dos subíndices. El primero denota la posición del coeficiente ($0, 1, 2 \ldots$), según la notación original, de mi planteamiento. El segundo es referente al valor escogido "k".

$\dst a_{1,k}= (-1)^{k+1}(k-1)!-a_{1, k-1}k$


$\dst a_{i,k}= a_{i-1, k-1}-a_{i, k-1}k$


Un cordial saludo.

[rarar]

Re: ¿postulado de rarar?

Explicación de las cuatro últimas filas:
1) Suma de columnas.
2) Suma acumulada.
3) Su correspondiente factorial (indicado en el encabezamiento, k=?).
4) Producto de las dos anteriores (corresponde a $a_4$).
Y, clalo, hay que poner el signo que corresponda $(-1)^k$
Un cordial saludo.

[rarar]

Re: ¿postulado de rarar?

La verdad es que "me explico poco, pero mal".
Se me ocurrió, después, ordenar el triángulo hacia la derecha, que parece más didáctico:

k=4 k=5 k=6 k=7 k=8 k=9
24 30 36 42 48 54
40 48 56 64 72
60 70 80 90
84 96 108
112 126
144
60 72 84 96 108
90 105 120 135
126 144 162
168 189
216
120 140 160 180
168 192 216
224 252
288
210 240 270
280 315
360
336 378
432
504
120 144 168 192 216
180 210 240 270
252 288 324
336 378
432
240 280 320 360
336 384 432
448 504
576
420 480 540
560 630
720
672 756
864
1008
360 420 480 540
504 576 648
672 756
864
630 720 810
840 945
1080
1008 1134
1296
1512
840 960 1080
1120 1260
1440
1344 1512
1728
2016
1680 1890
2160
2520
3024

suma de columnas 24 250 1350 5145 15680 40824
suma acumulada 24 274 1624 6769 22449 63273

Corresponde a los elementos $a_{k-4}$
El final (63273) es el elemento $a_{k-4}$ del polinomio de grado $n^9$
Para $n^8$ quitamos la última columna = 22449
Los inversos, individuales, del triángulo, por el "mismo" (más bien, parecido) sistema, darán una suma por columnas (Ojo¡, nos interesa el acumulado) y multiplicando cada suma acumulada por su correspondiente factorial (k), resulta el $a_4$.
Un cordial saludo

[arivasm]

Re: ¿postulado de rarar?

Me alegro de que sea así. Estoy buscando la fórmula de $a_{k-3}$ para comprobar la igualdad con la que encontraste, pero el proceso es mucho más largo (el número de términos que hay que manejar crece aproximadamente duplicándose en cada paso que se da) y me he equivocado varias veces, de manera que tengo que volver al principio. Me están matando las sumas del estilo $\sum_{p=1}^k p^r$. En cuanto llegue a una sin errores la subo.

Sobre el triángulo "rocambolesco" tienes que contarme cómo va.

Saludos!

[rarar]

Re: ¿postulado de rarar?

Hola arivasm:
Desarrollando tu idea, la he comprobado hasta n=15 y los elementos $n_{k-8}$ y $k=8$
Los resultados son correctos.
"Sólo" he tenido que desarrollar $\dst C_8^{15}= 6435$ $\text{combinaciones de factores e inversos.}$
Un cordial saludo.

[rarar]

Re: ¿postulado de rarar?

Hola arivasm:
Con tu idea he desarrollado un triángulo más "rocambolesco", que nos sirve para $a_{k-4}$=sumando y para $a_4$=sumando inversos y multiplicando por 9 factorial. Tengo que comprobar si recortando la diagonal derecha, se consigue para k=8.
Ahí va¡:
24 30 36 42 48 54
40 48 56 64 72
60 70 80 90
84 96 108
112 126
144
60 72 84 96 108
90 105 120 135
126 144 162
168 189
216
120 140 160 180
168 192 216
224 252
288
210 240 270
280 315
360
336 378
432
504
120 144 168 192 216
180 210 240 270
252 288 324
336 378
432
240 280 320 360
336 384 432
448 504
576
420 480 540
560 630
720
672 756
864
1008
360 420 480 540
504 576 648
672 756
864
630 720 810
840 945
1080
1008 1134
1296
1512
840 960 1080
1120 1260
1440
1344 1512
1728
2016
1680 1890
2160
2520
3024

Un cordial saludo.

[rarar]

Re: ¿postulado de rarar?

Gracias, por la aclaración.
Claro, pensaba que era para hallar los términos y me preguntaba, si no sería más rápido desarrollar la fórmula primigenia. Pero siendo así, tienes razón.
De todas formas, aunque sea engorroso es intructivo y voy a ver si me puedo "fabricar" uno de mis triángulos numéricos para plantilla de resolución.
Un cordial saludo.

[arivasm]

Re: ¿postulado de rarar?

La fórmula que he puesto, igual que la que escribí anteriormente (la de suma de inversos) no tiene como propósito el cálculo rápido de los coeficientes, sino servir de base para demostrar las expresiones que encontraste para $a_{k-1}, a_{k-2}$, etc.

[rarar]

Re: ¿postulado de rarar?

Ostras¡ que palizón me he pegado.
Sí coincide el ejemplo que has puesto. Lo que pasa, es que el sistema es muy engorroso.
Resulta: 63273
Casi es mejor utilizar la fórmula que hallé para $a_{k-4}$, ya que ese el elemento buscado; pero, también es verdad, que para elementos de k>14 y de $a_{k-5}$ a $a_3$, no he encontrado todavía otro sistema.
Seguiré investigando tu fórmula.
Un cordial saludo.

[arivasm]

Re: ¿postulado de rarar?

Creo que ya cacé el gazapo: me lié en un cambio de índices durante la demostración.

Si no me equivoco, la expresión que puse debería ser así (aprovecho para añadirle algo más de detalle y también procuraré usar tu notación, con un único subíndice en el coeficiente que se calcula):

$\dst a_{k-i}=(-1)^i \sum_{p_1=i}^k p_1 \sum_{p_2=i-1}^{p_1-1} p_2 \sum_{p_3=i-2}^{p_2-1} p_3 ... \sum_{p_i=1}^{p_{i-1}-1} p_i$

De hecho, las expresiones que puse antes no se correspondían (dejando de lado el problema de los signos) con los $a_1$ y $a_2$ sino con los $a_{k-1}$ y $a_{k-2}$. Es decir, antes debí haber escrito que $\dst a_{k-1}=(-1)^1 \sum_{p=1}^k p = -\frac{k+1}{2}k$ y que $\dst a_{k-2}=(-1)^2 \sum_{p=2}^k p \sum_{q=1}^{p-1} q = \frac{1}{12} k (k+1) \left( 3 k^2 - k - 2 \right)$.

La fórmula en cuestión se aplica del siguiente modo: además del signo, se trata de una suma de una suma de una suma... tantas veces como sea i (recordemos que hablamos de los $a_{k-i}$).

Por ejemplo, si queremos encontrar el valor del coeficiente de $n^5$ para $k=9$, (es decir el $a_{5}=a_{9-4}$) tendremos una suma de una suma de una suma de una suma (cuatro veces), lo que implica que al final tendremos una gran suma de términos formados por cuatro factores, y que son de tal manera que en cada uno de esos términos los cuatro factores siempre serán diferentes.

Quizá la mejor manera de describir el cálculo no es el orden creciente, sino el decreciente.

En ese orden, los seis primeros sumandos serán

9·8·7·6 + 9·8·7·5 + 9·8·7·4 + ... + 9·8·7·1

luego vienen cinco de la forma

9·8·6·5 + 9·8·6·4 + ... + 9·8·6·1

que irán seguidos de

9·8·5·4 + ... + 9·8·5·1

y así hasta que lleguemos a 9·8·2·1, a partir de ahí vienen sumandos que empiezan por 9·7·6·5 + 9·7·6·4 + ... hasta llegar a 9·7·2·1...

La serie de sumandos con 9 acaba en 9·3·2·1, que irá seguido de la serie de sumandos que comienzan por el 8, es decir,

8·7·6·5 + 8·7·6·4 + 8·7·6·3 + ...

Cuando lleguemos al 8·3·2·1 pasaremos al 7·6·5·4... y así hasta que lleguemos finalmente al 4·3·2·1.


¡A ver si ahora no he metido la pata!

[rarar]

Re: ¿postulado de rarar?

Lo siento.
La anotación más cómoda, para mí, es la de hacer coincidir el exponente con el subíndice. Así sólo se utiliza un subíndice.
Un cordial saludo.

[arivasm]

Re: ¿postulado de rarar?

Sí, tienes razón en que debe haber algún error. Lo del k=5 era claramente una errata de transcripción. Pero sí es cierto, que lo que sale es el coeficiente de $n^2$. Tendré que revisar la demostración. ¡Porras!, con lo contento que estaba yo.

PD: Siento que sea confusa la notación, pero es que cada coeficiente depende de dos cosas: el exponente de n y el valor de k. De ahí la conveniencia de etiquetarlos con dos subíndices. ¿Qué notación te resultaría más cómoda?

[rarar]

Re: ¿postulado de rarar?

Espero que, tu visita al médico, haya sido sólo rutinaria.

Debes de tener algún error pequeño, el 225 que hallas, corresponde al coeficiente de $n^2$ ( o sea, $a_2$)del polinomio de grado 5 (k=5) y tiene signo negativo.
El polinomio sería: $\dst P_5=n^5-15n^4+85n^3-225n^2+274n-120$
La verdad, es que, estando acostumbrado a mis nomenclaturas, me cuesta bastante trabajo entender algunas de tus fórmulas.
Un cordial saludo.