1r ciclo integral de cauchy (residuos)

[rupiopan]

hola! tengo la siguiente duda

para resolver la integral de esta función dentro de la región de integración, una circunferencia de radio 2 centrada en el origen,

$f\left( z \right) = \frac{\sinh5z}{(1+{z}^{2 }){z}^{ 2} }$

que tiene 2 polos simples $\pm i$

y el 0 como afecta? porque también hace 0 el numerador y es polo esencial, como afecta al calcular el resultado de la integral? lo tenemos en cuenta o no

gracias!!

[Umbopa]

Re: integral de cauchy (residuos)

Claro que afecta . Todo polo dentro de la región de integración afecta.
La integral sera 2*pi*i por la suma de residuos , pero ese polo en 0 no es de orden dos sino de orden uno porque tiene un cero del numerador en z=0 también . Osea para ese polo tendrás que usar la fórmula de residuo en polo de orden uno al igual que los demás.

[rupiopan]

Re: integral de cauchy (residuos)

y al usar la fórmula de orden uno se quedará

$f\left( z \right) = \frac{\sinh5z}{(1+{z}^{2 })z }$

lo cual es 0 porque arriba sigue siendo 0

me podrías decir como queda? saludos y gracias

[Umbopa]

Re: integral de cauchy (residuos)

A ver tenemos un numerador con una función sinh con un cero en z=0 y un denominador con tres ceros 2 simples y 1 doble en z=0 . Si tu piensas en la serie de taylor de sinh(5z)=5z+125/6 z^2+..... ahora divide esta serie de taylor por z^2 .
sinh(5z)/z^2=5/z+125/6+.... . Lo que era un supuesto polo de segundo orden al estar elevado al cuadrado . Es en realidad un polo de orden 1 porque la serie de taylor solo tiene un z^-1 .

Resumiendo , tenemos una función con 3 polos dentro del dominio de integración. Los 3 polos simples , por lo tanto :

Integral(...)= 2*pi*i*(Res z=0 {f(z)} + Res z=-i {f(z)} + Res z=i {f(z)})

Res z=0 {f(z)} = lim z->0 {z*f(z)} = lim z-> 0 {sinh(5z)/((1+z^2)z) -> l'Hôpital -> = 5

Res z=i {f(z)} ) = lim z->i {(z-i)*f(z)} = lim z->i { -sinh(5z)/((i+z)z^2)) = sinh(5i)/2i = sin(5)/2

Res z=-i {f(z)} ) = lim z->-i {(z+i)*f(z)} = lim z->-i { sinh(5z)/((i-z)z^2)) = -sinh(5i)/2i = -sin(5)/2

Por lo tanto , si no me equivoco queda Integral(...)= 10*pi*i

[rupiopan]

Re: integral de cauchy (residuos)

Muy bueno! mil gracias! como voy a saco resolviendo no veo que es el límite sino que directamente sustituyo.

Espectacular lo de resolver el límite por l'Hôpital.