1r ciclo Pregunta acerca de polinomio de Lagrange

[skinner]

Hola. Tengo que hacer el siguiente ejercicio:

"Pruebe que los polinomios de Lagrange asociados a $x_0, x_1 ,\ldots, x_N$ satisfacen la igualdad $L_0(x)+L_1(x)+\ldots +L_N(x)=1$"

Mi progreso es el siguiente (a ver si me ayudan):

El polinomio de Lagrange se define como:

$$L_j(x)=\prod_{l = 0, l\neq j}^N \left( \frac{x-x_l}{x_j-x_l} \right)$$

De modo que para j=1,2,...,N tenemos:

$$L_0(x)=\prod_{l = 0, l\neq 0}^N \frac{x-x_l}{x_0-x_l}$$

$$L_1(x)=\prod_{l = 0, l\neq 1}^N \frac{x-x_l}{x_1-x_l}$$

$$\ldots$$

$$\ldots$$

$$L_N(x)=\prod_{l = 0, l\neq N}^N \frac{x-x_l}{x_N-x_l}$$

Entonces, para que se cumpla la condición del enunciado es necesario que todos los coeficientes de grado N hasta 1 se desvanezcan. Por ejemplo, para los coeficientes de grado N, debe cumplirse:

$$\boxed{\sum_{i = 0}^N \left( \prod_{j = 0, j\neq i}^N \frac{1}{x_i-x_j} \right) =0}$$

¿Podríais ayudarme a demostrar que esto es cierto?

¿Cómo lo hago para los coeficientes de grado N-1?

Un saludo amigos, y mil gracias como siempre.

[juantv]

Re: Pregunta acerca de polinomio de Lagrange

$\dst l_k ( x_j ) = \delta_{ij}$


$\dst x_j \in$ {$x_0 , x_1, ... x_N$}


$\dst k\in$ [$\dst 0 ; N$] , $\dst \exists k$ \ $\dst k=j$ $\mapsto$ $\dst \sum_{k = 0}^N l_k (x_j) = 1$

[skinner]

Re: Pregunta acerca de polinomio de Lagrange

Hola juantv, pero eso sólo es válido para $x=x_j$; no ocurre lo mismo para $x\neq x_j$ ¿Qué hago con éstos términos?

Un saludo

PD: Además, no piden particularizar los polinomios para x=x_j; el enunciado asegura que esto ocurre para cualquier argumento de x.

[juantv]

Re: Pregunta acerca de polinomio de Lagrange

En la suma $\dst L_0(x)+L_1(x)+\ldots +L_N(x)=1$

para alguno y solo un $\dst x$ y algun y solo un $\dst j$ se tendra que $\dst l_j (x) =1$ y para el resto sera cero porque $\dst l_j (x_k ) = \delta _{jk} = 0$ con $j\neq k$.

[skinner]

Re: Pregunta acerca de polinomio de Lagrange

Cuánta razón tienes, espectacular.

Un saludo amigo