Otras carreras Problema de desigualdad con mínimo común múltiplo

[juantv]

Sea $a_0 < a_1 < \ldots < a_n$ Demuestre que

$\cfrac{1}{mcm(a_0,a_1)}+\cfrac{1}{mcm(a_1,a_2)}+\ldots+\cfrac{1}{mcm(a_{n-1},a_n)} \leq 1-\cfrac{1}{2^n}$

Alguna idea de por donde "atacarlo"?, TY

[rarar]

Re: Problema de desigualdad con mínimo común múltiplo

$\text{ Los } a_i$, ¿son consecutivos y sin repetición?
Un cordial saludo.

[juantv]

Re: Problema de desigualdad con mínimo común múltiplo

Saludo, rarar

En general no son consecutivos y no repetidos, solo son enteros positivos cualesquiera que cumplan $a_0 < a_1 < \ldots < a_n$.

[juantv]

Re: Problema de desigualdad con mínimo común múltiplo

Intento poner la expresion en funcion de mcd's en vez de mcm's pero me quedo "igual" :/ ...

[rarar]

Re: Problema de desigualdad con mínimo común múltiplo

Quizá tenga alguna incorrección, pero yo lo veo así:
Imagino el escenario más desfavorable: escojo los elementos consecutivos y desde el tamaño más pequeño, para que resulte el cociente más alto.
$a_0=1, a_1=2, ...$

Los términos serían:
$\dst \frac{1}{1*2}, \frac{1}{2*3}, ...$

Se convierte en la serie:

$\dst \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$


Las primeras sumas, simplificadas, serían:

$\dst \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}$

O sea, tendríamos una sucesión:

$\dst S=\frac{n}{n+1}$

Probemos si es correcto el enunciado:

$\dst \frac{n}{n+1}\leqslant 1-\cfrac{1}{2^n}$

$n*2^n\leqslant 2^n*n+2^n-n-1$

Por lo que:
$n+1\leqslant 2^n$

Lo cúal es correcto.
Es un poco "basto", pero a ver si te sirve.
Un cordial saludo.

[SO3]

Re: Problema de desigualdad con mínimo común múltiplo

Simplemente es la serie geométrica de razón 1/2. El mcm de dos numeros naturales es como mínimo 2, y asi obtienes el caso $(a_0, a_1), i e, mcm(a_0, a_1) > 2.

Ahora si tienes n números a_0,..., a_1, el mcm (a_0,a_1) es como mínimo 2, y ocurre si a_0 = 1 y a_1=2, el siguiente mínimo mcm(a_1,a_2) ocurre si a_2 = 4, y por lo tanto mcm(a_1, a_2) = 4. Procedes por inducción y ya lo tienes.

[juantv]

Re: Problema de desigualdad con mínimo común múltiplo

rarar
Me gusto eso de el caso mas desfavorable, gracias.

SO3
Aun no me queda claro como probarlo por induccion (que es como propones).

[rarar]

Re: Problema de desigualdad con mínimo común múltiplo

En mi expresión:
$\dst \frac{n}{n+1}\leqslant 1-\cfrac{1}{2^n}$

se pueden tomar límites para n tendente a infinito y ya lo tendrías.
Un cordial saludo.