1r ciclo Ecu diferencial sencillita

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A ver es una ecu diferencial de segundo orden sencillita, pero se tiene que resolver de forma que la solucion sea una serie. La pongo y lo que yo he hecho basandome en los ejemplos y en mi teoria:

$(x^2-1) y^{\prime \prime}+4xy^{\prime}+2y=0$

Entonces yo ensaño una solucion de la forma siguiente que tendria las siguientes derivadas tras cambiar los indices del sumatorio a uno comun.

$\dst y=\sum_{n = 0}^\infty c_n x^n$

$\dst y^{\prime}=\sum_{n = 0}^\infty c_{n+1} (n+1) x^n$

$\dst y^{\prime \prime}=\sum_{n = 0}^\infty c_{n+2} (n+2)(n+1) x^n$

Ahora esto lo sustituyo en la ecu, saco factor comun x^n

$\dst \sum_{n = 0}^\infty [c_{n+2} (n+2)(n+1) x^{2} + 4c_{n+1} (n+1) x + 2c_n - c_{n+2} (n+2)(n+1)]x^n = 0$

Entonces esto es igual a 0 si y solo si

$\dst c_{n+2} (n+2)(n+1) x^{2} + 4c_{n+1} (n+1) x + 2c_n - c_{n+2} (n+2)(n+1)=0$

Y de aqui se supone que tengo que deducir cualquier $c_n$ en funcion de unos $c_k$ digamos conocidos donde k<n y k finito

La cuestion es que no se como despejar..., si despejo queda$c_{n+2}$ en funcion de $c_{n+1}$ y $c_{n}$ vamos dos terminos anteriores, teoricamente hay que repetir la operacion hasta llegar a $c_0$ o $c_1$ o uno de esos pero si de 2 me salieron el 1 y el 0 de estos dos me saldran el 0 -1 -2 y de estos -1 -2 -3 -4, vamos que en cada paso tengo $c_n$ dependiendo de un termino mas, eso si anterior, dudo que sea esto lo que tenga que plantear porque quedarian unos $c_n$ muy complicados y no creo que sea asi.

Igual todo lo hecho esta mal jeje asi que me decis que se os ocurre...

EDITO: la otra opcion que he ensayado es a escribir luego los sumatorios desde n=2 dejando unos terminos fuera los cuales son bastanes, entonces no se si se podria suponer que tanto el sumatorio como los otros terminos se anulan de forma que tenemos 3 ecuaciones la de dentro del sumatorio todo con x^n comun, y fuera 2 ecuaciones mas una que acompaña al termino x y que seria el termino independiente...

Pero esto no tengo ni idea y me supongo que es una barbaridad asi que si nadie me confirma pues no creo que ni lo intente jeje

[Umbopa]

Re: Ecu diferencial sencillita

No no , has de agrupar los coeficientes de una misma potencia de x , y entonces ese coeficiente igual a cero .

Ahí tu has puesto los coeficientes de distintas potencias de x ; osea que esta mal has tener todo en un mismo sumatorio donde la potencia sea x^n para todo los coeficientes y unos terminos sumados que correspondran a x^0 ,x^1 etc

LA CLAVE ESTA EN AGRUPAR LOS COEFICIENTES QUE MULTIPLICAN A UNA MISMA POTENCIA DE X , esos coeficientes han de ser cero .

[_L_]

Re: Ecu diferencial sencillita

vale... justo lo que pense, (lee lo que he puesto abajo donde dice edito...)

Asi que escribo un sumatorio que empiece en n=2 que acompañaria a los x^n para n>2 => 1 ecuacion
Y fuera del sumatorio me queda un polinomio multiplicando a x => 2 ecuacion
Y el termino independiente igual a 0 tambien => 3 ecuacion

eso no?

[Umbopa]

Re: Ecu diferencial sencillita

Si algo así, yo lo que suelo hacer es separar los sumatorios por las distintas potencias de x , por ejemplo x^2+n , x^1+n , x^n

A partir de ahí , hago un cambio en la variable del sumatorio 2+n = m ; 1+n = m , osea que la suma empieza por 2 y 1 respectivamente :

Ya tengo todos los sumatorios con la misma potencia de x , pero unos empiezas en n=0 otros n=1 n=2

Entonces separo los primeros términos para que todos empiecen en n=2 y a partir de ahí el coeficiente que multiplica a cada potencia distinta ha de ser igual a cero.

Después te sale una relación de recurrencia , que suele ser díficil encontrar el el termino general C_n , porque tienes que usar símbolos de pochammer o la función gamma , doble factorial etc.. Los términos de las primeras potencias que has separado para que todos los sumatorios empiecen en n=2 te dan información muy útil para desarrollar la relación de recurrencia , por ejemplo que solo sobreviven los n impares o cosas así , así que primeros analiza esos primeros términos

[_L_]

Re: Ecu diferencial sencillita

Vale a ver... escribo asi las derivadas sin cambiar el indice del sumatorio:

$\dst y=\sum_{n = 0}^\infty c_n x^n$

$\dst y^{\prime}=\sum_{n = 1}^\infty c_{n} (n) x^{n-1}$

$\dst y^{\prime \prime}=\sum_{n = 2}^\infty c_{n} (n)(n-1) x^{n-2}$

Ahora escribo la ecuacion a resolver sustituyendo y agrupando...

$\dst \sum_{n = 2}^\infty c_{n} (n)(n-1) x^{n} + \sum_{n = 1}^\infty 4 c_{n} (n) x^{n} + \sum_{n = 0}^\infty [2 c_n - 2 c_{n+2} (n+2)(n+1) ] x^{n}=0<br />$
Ahora meto todo en un sumatorio desde n=2

$\dst [2c_0-4c_2]+[6c_1- 12c_3]x+\sum_{n = 2}^\infty[ c_{n} n(n-1) + 4 c_{n} n + 2 c_n - 2 c_{n+2} (n+2)(n+1) ] x^{n}=0<br />$
Tengo 3 polinomios distintos, entonces los igualo a 0 y me salen estas 3 ecuaciones

$\dst 2c_0-4c_2=0$

$\dst 6c_1 - 12c_3=0$

$\dst [n(n-1) + 4 n + 2] c_n - [2 (n+2)(n+1) ]c_{n+2}=0$

Seria asi no? ahora reducir de c_n+2 hasta c_2 y c_3 por numeros pares e impares separado. Luego sacar c_2 y c_3 en funcion de c_0 y c_1 no?

Voy a cenar vuelvo y lo hago, si me dices que esta bien pues mejor...

[Umbopa]

Re: Ecu diferencial sencillita

Si ahora separas en términos pares e impares , los pares te quedarán en función de C_0 y los impares en función de C_1

C_0 y C_1 serás las dos constantes típicas de integración de una ecuación de segundo orden :

y = C_0 y1 + C_1 y2 : y1 sera la primera solución que corresponderá a los términos pares y y2 a los términos impares

[_L_]

Re: Ecu diferencial sencillita

ok gracias era lo que pensaba...