2o ciclo Relacion de conjuntos

[MonsterV]

Tengo varios ejercicios de este tipo pero no veo como poder resolverlos:
Dado el conjunto A y su partición definir la relación de equivalencia en este conjunto asociada a su particion.

$A=\{a,b,c,d,e,f,g\}, particion A=\{ \{a,c,e\},\{b,d\},\{f,g\} \}$

Clasificar como reflexiba, simetria, transitiva, equivalente, antisimetrica o asimetrica
$\text{sea } R=(\mathbb{Z},\mathbb{Z},P(x,y), \text{en donde el enunciado logico es } P(x,y): 13 | (x-2y) )$

Espero alguien me pueda ayudar y a si poder continuar con mis demas ejercicios.

[xXminombreXx]

Re: Relacion de conjuntos

Pues para el primero, creo que simplemente es decir que la relación de equivalencia es la que relaciona entre sí los elementos a, c, e, por otra parte b, d y por último f, g.

De manera que el conjunto cociente sea ese... ¿?

La segunda, pues a comprobar cada cosa.
¿Es reflexiva?

P(x,x): x-2x = -x. Que sólo se cumple para los x que sean múltiplos de 13, por lo tanto NO es reflexiva.

¿Simétrica?

Supongamos que x e y están relacionados de manera que 13|(x-2y). Si le damos la vuelta queda y-2x. Es la relación de congruencia módulo 13 siguiente: $x\equiv 2y mod 13$ En este tipo de relaciones para quitar el 2 de la y, podemos multiplicar por su inverso que en $Z_{13}$ es 7, y no 2, por lo tanto tampoco es simétrica. Un contraejemplo es x=6, y = 16, P(6,16) es cierto, pero P(16,6) no lo es.

Transitiva tampoco. Si 13|x-2y y 13|y-2z, tenemos que x-2z = x-2y+2y-2z, 13 divide a x-2y, pero no a 2y-2z, puedes buscar cualquier contraejemplo y sale.

Antisimétrica tampoco puede ser porque P(0,13k) y P(13k,0) son ciertos para todo k. Equivalente no se lo que significa, si es que sea una relación de equivalencia pues no, por que no es reflexiva ni simétrica ni transitiva.

[MonsterV]

Re: Relacion de conjuntos

Pues para el primero, creo que simplemente es decir que la relación de equivalencia es la que relaciona entre sí los elementos a, c, e, por otra parte b, d y por último f, g.

De manera que el conjunto cociente sea ese... ¿?

La segunda, pues a comprobar cada cosa.
¿Es reflexiva?

P(x,x): x-2x = -x. Que sólo se cumple para los x que sean múltiplos de 13, por lo tanto NO es reflexiva.

¿Simétrica?

Supongamos que x e y están relacionados de manera que 13|(x-2y). Si le damos la vuelta queda y-2x. Es la relación de congruencia módulo 13 siguiente: $x\equiv 2y mod 13$ En este tipo de relaciones para quitar el 2 de la y, podemos multiplicar por su inverso que en $Z_{13}$ es 7, y no 2, por lo tanto tampoco es simétrica. Un contraejemplo es x=6, y = 16, P(6,16) es cierto, pero P(16,6) no lo es.

Transitiva tampoco. Si 13|x-2y y 13|y-2z, tenemos que x-2z = x-2y+2y-2z, 13 divide a x-2y, pero no a 2y-2z, puedes buscar cualquier contraejemplo y sale.

Antisimétrica tampoco puede ser porque P(0,13k) y P(13k,0) son ciertos para todo k. Equivalente no se lo que significa, si es que sea una relación de equivalencia pues no, por que no es reflexiva ni simétrica ni transitiva.

Gracias viejo al parecer no es dificil.