Secundaria Problema de interpolación

[skinner]

Hola a todos. Tengo un problema de interpolación del siguiente tipo:

"El polinomio $\dst p(x)=x^4 -x^3+x^2-x+1$ tiene los siguientes valores: p(-2)=31; p(-1)=5; p(0)=1; p(1)=1; p(2)=11; p(3)=61. Encuentre un polinomio q(x) que tome los mismos valores excepto el último: q(3)=30"

No sé por dónde meterle mano, sé que tengo que hacerlo por la forma de Newton del polinomio interpolador, usando diferencias divididas... ¿podéis prestarme ayuda?

La supuesta solución es:

$$\dst q(x) = p(x) - \frac{31}{120}(x+2)(x+1)(x)(x-1)(x-2)$$

Un saludo amigos

NOTA: En el propio ejercicio me dicen: "Sugerencia: Esto puede hacerse con poco trabajo". Le he dado muchas vueltas pero no me sirve esta sugerencia...

[Al2000]

Re: Problema de interpolación

Si haces $r_{(x)} = p_{(x)} - q_{(x)}$, resulta que ya lo conoces para cinco raices, por lo que $r_{(x)} = A (x+2)(x+1)(x)(x-1)(x-2)$. Además debe cumplirse que $r_{(3)} = p_{(3)} - q_{(3)} = 61 - 30 = 31$. Halla $A$ y despeja $q_{(x)}$. No se si es la forma mas fácil, pero es lo que se me viene a la mente en este momento,

Saludos,

Al

PD, Ahhh, me disculpo... veo que lo que te respondí no aporta nada nuevo, pues es lo mismo que pusiste en la ecuación (1). Sorry.

[skinner]

Re: Problema de interpolación

Estimado Al2000, lo que yo puse en (1) es la solución al ejercicio, y lo que tú posteastes es la solución. A mí también se me ocurrió hacerlo de una manera similar pero no me salía. Lo que no comprendo es tu segunda afirmación:

"[...] resulta que ya lo conoces para cinco raices, por lo que $r_{(x)} = A (x+2)(x+1)(x)(x-1)(x-2)$."

Quizá es porque yo hoy esté un poco "espeso", pero no entiendo cómo llegaste a lo de arriba. ¿Podrías profundizar en esa afirmación?

Un saludo amigo y gracias, esa es la forma correcta de obtener la solución.

[Al2000]

Re: Problema de interpolación

Porque el enunciado dice que q(x) toma los mismos valores que p(x) para esos cinco valores de x. Por consiguiente r(x) será cero en cada uno de esos puntos.

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Problema de interpolación

Por eso digo que hoy estoy torpe... pido disculpas.

Muchas gracias Al, ¿te quieres presentar al examen por mí? jejeje..

Un saludo

[rarar]

Re: Problema de interpolación

Hola, por el método de diferencias sería:
Si cambiamos el n=3 por 30, una de las infinitas soluciones sería:
Generado por el siguiente polinomio:
$Q(x)=81x^4+\frac{63}{8}x^3+9x^2-\frac{61}{10}x+1$
Un cordial saludo.

[skinner]

Re: Problema de interpolación

Gracias rarar por tu respuesta. El resultado creo que es correcto pero piden una forma "sencilla" (con poco trabajo), así que supongo que la de Al2000 sería "más válida" a la hora de plantearlo en el examen. Igualmente tu forma es robusta en el sentido de que nunca falla cuando no te viene la "inspiración" en mitad del examen.

Otro saludo cordial.