Otras carreras Flujo a través de otro Cilindro Circular (z es distinto 0)

[teleneco]

Necesito ayuda con este ejercicio:
El cilindro de la figura, de radio R, se encuentra bajo la acción de una función vectorial dado por $\vec{F}=\frac{{z}^{2}+1}{{R}^{2}}\vec{k}$
Hallar el flujo de F a través del cilindro.


La integral creo que sería de la siguiente forma:
$\int\vec{F}*dS$=$\frac{\frac{{z}^{3}}{3}+z}{\frac{{R}^{3}}{3}}$*S
Como la superficie inferior ya no esta en el plano z, ese plano ya no va a ser igual a 0.
¿Cómo calculo el flujo? La superficie de la circunferencia es $2\pi{R}^{2}$, pero la lateral no se cual es.
¿Me pueden ayudar, fisicos? Gracias

[Al2000]

Re: Flujo a través de otro Cilindro Circular (z es distinto 0)

Este problema es similar al del prisma. Como el campo sólo tiene componentes en Z, sólo habrá flujo en las tapas circulares inferior y superior del cilindro. El campo sólo depende de $z$ de modo que es constante en la superficie circular. El flujo se calcularía de manera simple como $\Phi = \vec F \cdot \vec S$, en cada tapa circular, tomando en cuenta que el flujo es entrante (negativo) en la tapa inferior y saliente (positivo) en la tapa superior. La cuenta sería

$$\Phi = \left . \left(\frac {z^2 + 1}{R^2}\right)\left(\pi R^2\right) \right |_{z=4R} - \left . \left(\frac {z^2 + 1}{R^2}\right)\left(\pi R^2\right) \right |_{z=2R} = 12 \pi R^2$$

Saludos,

Al

[dano]

Re: Flujo a través de otro Cilindro Circular (z es distinto 0)

Hola, tengo aquí exactamente el mismo ejercicio sin resolver. Sin embargo tengo anotado por el profesor que la solución es $\Phi = 32 \pi {R}^{2 }$, ¿es errónea?

[Aer]

Re: Flujo a través de otro Cilindro Circular (z es distinto 0)

¿Seguro que es exactamente el mismo? La solución de Al2000 es correcta

[Breogan]

Re: Flujo a través de otro Cilindro Circular (z es distinto 0)

Hola:

$$\Phi = \left . \left(\frac {z^2 + 1}{R^2}\right)\left(\pi R^2\right) \right |_{z=4R} - \left . \left(\frac {z^2 + 1}{R^2}\right)\left(\pi R^2\right) \right |_{z=2R} = 12 \pi R^2$$

Al

Creo que los puntos son z=6R ,y z=2R.

Suerte

[dano]

Re: Flujo a través de otro Cilindro Circular (z es distinto 0)

Hola:



Creo que los puntos son z=6R ,y z=2R.

Suerte

Disculpa, ¿pero por qué deberían sumarse 4R+2R (6R)? Gracias.

[Breogan]

Re: Flujo a través de otro Cilindro Circular (z es distinto 0)

Hola:

Disculpa, ¿pero por qué deberían sumarse 4R+2R (6R)? Gracias.

Por que, para este ejercicio, el valor de la fuerza en cada tapa del cilindro depende del valor de la coordenada z en estas, e independiente de las coordenadass x,y. El flujo en la tapa superior seria (subindice s):

$\Phi_s =\vec{F_s}\vec{S_s}$

$\dst \vec{F_s}=\frac{z_s^2+1}{R^2 } \hat{k} \ \ \ \wedge \ \ \ \ {z_s}=6R \ \ \ \ \wedge \ \ \ \ \vec{S_s}=\pi {R^2}\hat{k}$



Suerte

[Al2000]

Re: Flujo a través de otro Cilindro Circular (z es distinto 0)

...
Creo que los puntos son z=6R ,y z=2R.
...

Eso es correcto, gracias por puntualizarlo.

Saludos,

Al