1r ciclo Demostrar por Inducción

[mariolp]

Hola, este es mi primer mensaje en el foro aunque llevo leyéndolo un tiempo ya. Allá va, he de demostrar por inducción la siguiente ecuación

$$\sum_ {k=n+1}^{2n} \frac 1 k = \sum_ {k=1}^{2n} \frac {(-1)^{k+1}} k$$

Normalmente, después de demostrar el caso para n=1 lo hacía para n+1 separando el sumatorio en sumatorio hasta n, y luego sumándole el término n+1, pero en este caso al tener sumatorios a ambos lados de la ecuación no sé por donde tirar.

Muchas gracias de antemano

[[Beto]]

Re: Demostrar por Inducción

Hola, el procedimiento que debes de seguir es el mismo, es decir tomas en cuenta que:

$$f(n)=\sum_ {k=n+1}^{2n} \frac 1 k = \sum_ {k=1}^{2n} \frac {(-1)^{k+1}} k$$

Entonces pruebas que $f(1)$ es cierto, lo cual es fácil de verificar, pues

$$f(1)=\sum_ {k=2}^{2} \frac 1 k =\dfrac{1}{2}~~\text{por otro lado}~~ f(1)=\sum_ {k=1}^{2} \frac {(-1)^{k+1}} k=\frac{1}{1}+\frac{-1}{2}=\frac{1}{2}$$

Luego supones que $f(n)$ es cierto, y tienes que probar que la igual se cumple para $f(n+1)$, es decir:

$$f(n+1)=\sum_ {k=n+2}^{2(n+1)} \frac 1 k = \sum_ {k=1}^{2(n+1)} \frac {(-1)^{k+1}} k$$

Lo cual tampoco es complicado ya que a cada sumatoria la puedes descomponer de modo tal que tomando en cuenta la igualdad dada por la relación para $f(n)$ se cancelen términos similares a ambos lados de la igualdad y será fácil ver que aquellos que sobreviven son iguales.

[mariolp]

Re: Demostrar por Inducción

Muchas gracias por tu ayuda Beto, pero es precisamente en ese último paso en el que tengo problemas. Creo que debo cambiar el "recorrido" de alguna sumatoria para poder sustituir utilizando f(n) pero sigo sin saber cómo hacerlo.
De todas maneras gracias por tu tiempo

[[Beto]]

Re: Demostrar por Inducción

Solo tienes que usar propiedades de sumatoria, veamos, lo que tenemos que probar es que:

$$\sum_ {k=n+2}^{2(n+1)} \frac 1 k = \sum_ {k=1}^{2(n+1)} \frac {(-1)^{k+1}} k$$

Primero acomodemos el lado derecho de la igualdad:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Ahora por la hipótesis de inducción $\dst\sum_ {k=n+1}^{2n} \frac 1 k = \sum_ {k=1}^{2n} \frac {(-1)^{k+1}} k$, con lo que la expresión anterior queda de la siguiente manera:

$$\sum_ {k=1}^{2(n+1)} \frac {(-1)^{k+1}} k=\sum_ {k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}+ \sum_{k=2n+1}^{2n+2}\frac {(-1)^{k+1}} k=\frac{1}{n+1}+\sum_ {k=n+2}^{2n} \frac{1}{k}+ \sum_{k=2n+1}^{2n+2}\frac {(-1)^{k+1}} k$$

Pero el primer término de (1) se puede escribir de la siguiente manera:

$$\sum_ {k=n+2}^{2(n+1)} \frac 1 k=\sum_{k=n+2}^{2n}\frac{1}{k}+\sum_{k=2n+1}^{2n+2}\frac{1}{k}$$

Luego si tomamos en cuenta (1) se puede ver que los miembros derechos de (3) y (4) son iguales, es decir:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \sum_ {k=n+2}^{2(n+1)} \frac 1 k &= \sum_ {k=1}^{2(n+1)} \frac {(-1)^{k+1}} k\\<br /> \Rightarrow \cancel{\sum_{k=n+2}^{2n}\frac{1}{k}}+\sum_{k=2n+1}^{2n+2}\frac{1}{k}&=\frac{1}{n+1}+\cancel{\sum_ {k=n+2}^{2n} \frac{1}{k}}+ \sum_{k=2n+1}^{2n+2}\frac {(-1)^{k+1}} k&\\<br /> \Rightarrow \frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}&=\frac{1}{n+1}+\frac{(-1)^{2n+2}}{2n+1}+\frac{(-1)^{2n+3}}{2n+2}\\<br /> \Rightarrow \boxed{\frac{1}{2n+1}}+\underbrace{\frac{1}{2n+2}}_{I-II}&=\underbrace{\frac{1}{n+1}}_{I}+\boxed{\frac{1}{2n+1}}-\underbrace{\frac{1}{2n+2}}_{II}\\<br /> \end{aligned}<br />$$

Puedes ver fácilmente que los términos marcados a uno y otro lado de la igualdad se cancelan.