Otras carreras Circulación de un Vector

[teleneco]

[FONT=Times New Roman]Hola. Miren he visto en el foro un ejercicio de circulación de un vector, que esta mas o menos resuelto del todo. ¿Alguien lo podria explicar más a fondo? Gracias.


Hallar la circulación del vector
[/FONT][FONT=Times-Roman]cuando partiendo del [/FONT][FONT=Times-Roman]origen de coordenadas, se sigue por la recta [/FONT][FONT=Times-Roman]2y [/FONT][FONT=Symbol]= [/FONT][FONT=Times-Roman]x [/FONT][FONT=Times-Roman]hasta el punto de corte con la [/FONT][FONT=Times-Roman]parábola[/FONT]
[FONT=Times-Roman], y desde este punto, siguiendo por la parábola, hasta el origen de [/FONT][FONT=Times-Roman]coordenadas.[/FONT]

- - - Actualizado - - -

Para más información, aqí está el original:
http://forum.lawebdefisica.com/threads/18332-Duda2
Nuevamente gracias.

[Al2000]

Re: Circulación de un Vector

[FONT=Times New Roman]...
Hallar la circulación del vector
[/FONT][FONT=Times-Roman]cuando partiendo del [/FONT][FONT=Times-Roman]origen de coordenadas, se sigue por la recta [/FONT][FONT=Times-Roman]2y [/FONT][FONT=Symbol]= [/FONT][FONT=Times-Roman]x [/FONT][FONT=Times-Roman]hasta el punto de corte con la [/FONT][FONT=Times-Roman]parábola[/FONT]
[FONT=Times-Roman], y desde este punto, siguiendo por la parábola, hasta el origen de [/FONT][FONT=Times-Roman]coordenadas.[/FONT]
...

Esto es parte de la respuesta original. La copio aquí y la amplío:

---- Respuesta original----

Bueno, compañero, el procedimiento es el mismo. Básicamente lo que tienes que hacer es visualizar la curva que forma el camino de integración y parametrizarlo para calcular la integral igual que en los dos ejemplos previos. Te sugiero grafiques la trayectoria, formada por por la recta y la parábola . Según entiendo del enunciado, la curva de integración debe partir del origen, "seguir" por la recta hasta la intercepción con la parábola y "regresar" al origen por la parábola. Hay que hallar el punto de intercepción resolviendo simultáneamente la ecuación de la recta y la de la parábola. Obtendrás que se interceptan en el origen, por supuesto, y en el punto (4,2) (verifica que satisface ambas ecuaciones).

Para parametrizar la recta desde (0,0) hasta (4,2) bastará con tomar



corriendo el parámetro de 0 a 1. Para parametrizar la parábola en sentido opuesto se puede hacer



corriendo el parámetro desde 1 hasta 2.

---- Respuesta original ----

Previo a la integral, necesitas los incrementos $dx,\,dy$.

- Segmento rectilíneo: $dx = 4\,dt,\,\, dy = 2\,dt$

- Segmento parabólico: $\dst dx = -4\,dt,\,\, dy = - \frac 1 {\sqrt {2 - t}}\,dt$

Y ya puedes evaluar la circulación:

$\dst \Lambda_a = \int_C \boldsymbol a \boldsymbol \cdot d \boldsymbol r = \int_C \left[(x^2 + y^2) \boldsymbol i - (x^2 + xy) \boldsymbol j \right] \boldsymbol \cdot (dx\, \boldsymbol i + dy \, \boldsymbol j)$

$\dst \Lambda_a = \int_C (x^2 + y^2)\,dx - (x^2 + xy)\,dy$

Sustituyendo los valores de $x, y, dx$ y $dy$ en función de $t$ queda:

$\dst \Lambda_a = \int_{0}^{1}\!\! [(4t)^2 + (2t)^2] (4\,dt) - [(4t)^2 + (4t)(2t)](2\,dt)$
$\dst \quad + \int_{1}^{2}\!\! [(4(2-t))^2 + (2\sqrt {2-t})^2] (-4\,dt) - [(4(2-t))^2 + (4(2-t))(2\sqrt {2-t})]\left (- \frac 1 {\sqrt {2 - t}}\,dt \right )$

El resto te lo dejo a ti. Revisa, no vaya a ser que se me haya colado algún error.

Saludos,

Al

[teleneco]

Re: Circulación de un Vector

Gracias.
Pero como se que esto es de 0 a 1:



y esto de 1 a 2:

[Al2000]

Re: Circulación de un Vector

No lo sabes. Yo lo elegí así arbitrariamente. La parametrización de una curva no es única, esa es la que yo elegí, simplemente. Tu puedes elegir otra si es tu deseo/necesidad.

Saludos,

Al

[teleneco]

Re: Circulación de un Vector

¿Y cuales son los pasos o los metodos para saber si lo cojo de manera correcta?
Gracias.

[Al2000]

Re: Circulación de un Vector

Bueno, podrías intentar eliminando el parámetro para ver si consigues la ecuación original... aunque eso es como poner la carreta delante del burro. Lo usual es que una curva se parametrize porque una relación explícita entre las variables originales no se puede conseguir.

Un profesor te puede dar una receta para parametrizar las curvas mas simples y comunes, como la recta, la parábola, el círculo/elipse, etc., pero las fórmulas no deberían sustituir al razonamiento. Te pongo como ejemplo el caso mas sencillo, la línea recta.

En este caso yo quiero/necesito mover un punto a lo largo de la recta $2y = x$ desde el punto (0,0) hasta el punto (4,2), que es el punto donde se intersecta con la parábola y que he determinado previamente. Entonces empiezo por decidir el recorrido de mi parámetro. En este caso elegí que $t$ variase entre 0 y 1, que es lo mas sencillo. Como necesito que $x$ recorra los valores desde 0 hasta 4, entonces haciendo $x = 4t$ ya tengo el mandado hecho. Y como $y = x/2$, entonces resulta que $y = 2t$. Listo el pollo.

Para el segundo arco, que es una parábola, decidí que el parámetro varíe de 1 a 2, simplemente por hacerlo continuo. Pero como es mas fácil, yo siempre hago el ajuste usando los valores 0 y 1 (despues corro el valor al rango que quiero/necesito). Según el problema, el arco de parábola debe recorrerse desde el punto (4,2) de vuelta hasta el origen (0,0). Entonces para que $x$ varíe de 4 a 0, hago que $x = 4 - 4t = 4(1-t)$. Como $y = \sqrt x$, entonces $y = 2 \sqrt {1-t}$. Y ahora corrijo el parámetro para que varíe entre 1 y 2 en lugar de 0 - 1. Esto lo hago restando 1 a $t$ en las expresiones anteriores para que no se altere su valor: $x = 4 [1- (t-1)] = 4 (2-t),\,y = 2 \sqrt {2-t}$.

Fíjate que este paso de "ajuste" del parámetro lo hice tan solo porque quería expresar la curva como una sucesión continua de valores del parámetro $t$. Pero perfectamente podría resolver el problema trabajando cada segmento por separado, usando en cada segmento una variación de $t$ de 0 a 1. Eso haría mas fácil la evaluación de la segunda integral. Cómo lo hagas dependerá solo de tí (o de tu profesor).

Termino diciéndote que en este problema en particular el haber parametrizado la curva usando $t$ fue mas un ejercicio de vagancia que una necesidad, pues el problema ya está parametrizado en función de $x$. Puedes tomar la integral original y dividirla en dos, una para cada curva, expresar todo en función de $x$, integrar la primera (la recta) desde $x=0$ hasta $x=4$ y la segunda (la parábola) desde $x=4$ hasta $x=0$.

Inténtalo para que te diviertas. Saludos,

Al