1r ciclo Flujo a través de un cilicndro

[Zhisi]

Hola. Estoy con un ejercicio que creo que no entiendo muy bien y además no se cómo resolver una de las integrales.

Calcular el flujo del campo vectorial $\vec{A}(x,y,z)=(z,x,3y^2z)$ a través de la superficie del cilindro definido por $x^2+y^2=4$ y los planos $z=0 \mbox{ y }z=2$

Hallamos el flujo a través del cilindro sumando los flujos de la tapa superior $TS$, de la tapa inferio $TI$ y de la superficie lateral $SL$

$\dst \int_S \vec{A} \cdot \vec{ds} =\int_{TS} \vec{A} \cdot \vec{ds} =\int_{TI} \vec{A} \cdot \vec{ds}=\int_{SL} \vec{A} \cdot \vec{ds}$

Escribimos el diferencial de superficie del siguiente modo $\vec{ds}=\hat{n}ds$ donde $\hat{n}$ es el vector normal a la superficie y apunta hacia el exterior en cada caso. Así pues, para la primera integral tengo:

$\dst \int_{TS} \vec{A} \cdot \vec{ds}=\int_{TS} \vec{A} \cdot \hat{z}ds=\int_{TS} (z,x,3y^2z) \cdot (0,0,1) ds= \int_{TS} 3y^2z \ ds$

Y no sé cómo resolver esta integral de superficie.

Para la tapa inferior la integral es similar:

$\dst \int_{TI} \vec{A} \cdot \vec{ds}=\int_{TI} \vec{A} \cdot (- \hat{z})ds=\int_{TI} (z,x,3y^2z) \cdot (0,0,-1) ds= \int_{TI} -3y^2z \ ds$

Para la superficie lateral no tengo ni idea de cómo plantear la integral ya que el vector normal no es el mismo en todos los puntos:

$\dst \int_{SL} \vec{A} \cdot \vec{ds}$


Voy a intentarlo en coordenadas cilíndricas sobre el papel (supongo que será mucho más fácil) aunque no tengo costumbre.

Gracias.

[Al2000]

Re: Flujo a través de un cilicndro

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Escribimos el diferencial de superficie del siguiente modo $\vec{ds}=\hat{n}ds$ donde $\hat{n}$ es el vector normal a la superficie y apunta hacia el exterior en cada caso. Así pues, para la primera integral tengo:

$\dst \int_{TS} \vec{A} \cdot \vec{ds}=\int_{TS} \vec{A} \cdot \hat{z}ds=\int_{TS} (z,x,3y^2z) \cdot (0,0,1) ds= \int_{TS} 3y^2z \ ds$

Y no sé cómo resolver esta integral de superficie.
...

Ya que el campo te lo dan en coordenadas cartesianas, simplemente expresa el diferencial de área como $ds = dx\,dy$ y resuelve la integral doble. Alternativamente, como la componente que estás integrando depende sólo de $y$, podrías tomar como diferencial de área tiras paralelas al eje X y de grosor $dy$. El ancho de estas tiras sería $2 \sqrt {R^2 - y^2}$ y el diferencial de área te quedaría $ds = 2 \sqrt {R^2 - y^2}\,dy$. Tendrías que integrar entre $-R$ y $R$ o aprovechar la simetría e integrar sólo la mitad y multiplicar por 2. No olvides que en esa tapa $z = 2$.

...
Para la tapa inferior la integral es similar:

$\dst \int_{TI} \vec{A} \cdot \vec{ds}=\int_{TI} \vec{A} \cdot (- \hat{z})ds=\int_{TI} (z,x,3y^2z) \cdot (0,0,-1) ds= \int_{TI} -3y^2z \ ds$

...

Aquí el flujo es cero inmediatamente. Fíjate que $z=0$.

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Para la superficie lateral no tengo ni idea de cómo plantear la integral ya que el vector normal no es el mismo en todos los puntos:

$\dst \int_{SL} \vec{A} \cdot \vec{ds}$

...

Para la superficie lateral del cilindro, el diferencial de área sería $ds = R\, d \theta\, dz$ en la dirección del vector unitario radial, $\hat r = \cos \theta \,\hat x + \, \mathrm {sen} \, \theta \, \hat y$. Como quiera que la componente Z del campo no va a aparecer en la integral, te quedará una integral doble que sólo tiene a $x$ y a $z$, de manera que quizá lo mas sencillo sería poner que $x = R \cos \theta$ y resolver la integral en función de $\theta$ y $z$.

Saludos,

Al

[Aer]

Re: Flujo a través de un cilicndro

Buenas, lo más sencillo sería usar el teorema de la divergencia y calcular la integral triple directamente. Pero si quieres hacer 3 integrales de superficie, te hago la de la cara como demostración.
Necesitamos una parametrización de la superficie, en este caso la cara exterior.

$S:(\theta,u)\in [0,2\pi]\times[0,2] \subset \mathbb R^2 \rightarrow S(\theta,u) = (2\cos (\theta),2\sin(\theta),u)$

Pasamos a calcular el vector normal, con la orientación adecuada (visualmente es la forma más sencilla de hacerlo, piensa en un vector diferencial de theta, y en un vector diferencial de u, está claro que $S_{\theta}\times S_u$ nos dará la normal exterior

$S_{\theta} = (-2\sin\theta,2\cos\theta,0)$
$S_u = (0,0,1)$
$S_{\theta}\times S_u = (2\cos \theta,2\sin\theta,0)$

Ahora simplemente queda calcular la integral

$\int_0^2(\int_0^{2\pi} (u,2\cos\theta,3y^2z ) \cdot (2\cos\theta,2\sin\theta,0)d\theta)du$
$\int_0^2(\int_0^{2\pi}u\cos\theta + 2\sin(2\theta))d\theta)du = 0$

En realidad ni siquiera habría hecho falta calcular esta integral pues se podía ver de antemano que iba a ser cero por la simetría del campo vectorial y la superficie.
$(x,z,3y^2z)$ Si te fijas, para cada (x,y,z) en el cilindro existe otro (x,y,z) con normal opuesta y vector opuesto (misma $y$,pues está al cuadrado, misma $z$ pues solo toma valores positivos, pero con la x cambiada de signo).
No sé si la habré liado en los cálculos, pero de todas formas lo sencillo creo que sería hacer lo siguiente

Por el teorema de la divergencia tienes

$\int _S F \cdot \vec ds = \int_V (\nabla \cdot F )dV$

Te queda calcular entonces

$\nabla \cdot F = 0 + 0 + 3y^2$
$\int_V 3y^2 dV$

Siendo V el volumen encerrado por el cilindro, tendrías que hacer un cambio de variables a cilíndricas, sin olvidar multiplicar por el correspondiente cambio de variables (ya no lo recuerdo xD hace mucho que no hago de esto, creo que era $r^2$, pero ante la duda puedes calcularlo), y te queda una integral triple muy sencillita, aunque por lo que te comentaba de la simetría creo que todo da cero también, aunque no te fíes, como te decía hace mucho que no calculo una de estas, prueba y si no te sale, la intentaré calcular completamente.

No sé si meto mucho la pata, el año pasado dominaba todo esto, pero ya ha pasado un año y estoy oxidado jaja. Bueno intenta resolverla y si no ya mañana lo intento. Saludos!