2o ciclo flujo neto en paraboloide

[Julián]

Sea el campo vectorial $\vec{F}$ y el cual $\nabla \cdot \vec{F}=1$. Calcular el flujo neto en la superficie dada por la cara exterior de el paraboloide $z={x}^{2} + {y}^{2} -1$ y el plano $xy$

por el teorema de la divergencia podemos calcular el flujo como

$\iiint 1 dx dy dz$

que pasado a polares sería:

${\int}_{-1}^{0} {\int}_{0}^{2\pi} {\int}_{0}^{1} r dr d\theta dz = \pi$

¿es correcto?

saludos.

[Cat_in_a_box]

Re: flujo neto en paraboloide

Hola,

Creo que has descrito incorrectamente tu dominio de integración. Como tienes un paraboloide, lo mejor es utilizar coordenadas cilíndircas dada la simetría de revolución en torno al eje z, que es lo que has hecho (aunque las llamas polares). Entonces, el dominio de integración, en dichas coordendas, queda de la siguiente forma:

$$0\leqslant r \leqslant 1; \quad 0\leqslant \theta \leqslant 2\pi ;\quad 0\leqslant z\leqslant r^2-1$$

De modo que el flujo queda, empleando el teorema de la divergencia:

$$\iint_\Sigma \vec F\cdot\mathrm{d}\vec S=\iiint_W (\vec \nabla\cdot \vec F)\mathrm{d}V=\int_0^1\mathrm{d}r\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^{r^2-1}\mathrm{d}z r=-\dfrac{\pi}{2}$$

Si no me he equivocado al hacer el cálculo. Como ves, te faltaba por describir correctamente el dominio de la variable de integración z.

Saludos,