Olimpiada Dudas en problemas que me estoy preparando para la Olimpiada

[javirk]

Hola, me estoy preparando para la Olimpiada matemática y he sacado algunos problemas, no de otras olimpiadas, pero sí de preparación, ya que muchas de las cosas que salen (al menos yo) no las hemos dado en clase. Estoy empezando por las demostraciones por inducción, y he encontrado unos cuantos problemas en el libro Manual de matemáticas para preparación Olímpica que no sé hacer (posiblemente porque nunca había hecho esto):

- Demuestra que el producto de cualquier número de factores, sumas de dos cuadrados, es a su vez suma de dos cuadrados.--> No sé ni cómo empezar

- Demuestra que:
$2{(p+1)}^{(p+1)}<{(p+2)}^{(p+1)}$

A ver si vosotros me podéis guiar para que me salgan estos.

Un saludo y gracias de antemano.

[[Beto]]

Re: Dudas en problemas que me estoy preparando para la Olimpiada

Hola, el primer ejercicio se puede hacer usando inducción, así:

Para 1 producto:

Queremos probar que $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=m^2+n^2$.

Sea $z=a+ib$ y $w=c+id$ dos números complejos, entonces $\overline{z}=a-ib$ y $\overline{w}=c-id$ son sus respectivos conjugados, luego $z\overline{z}=a^2+b^2$ y $w\overline{w}=c^2+d^2$. Entonces

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=z\overline{z}w\overline{w}$$

y agrupando adecuadamente:

$$\begin{aligned}(a^2+b^2)(c^2+d^2)&=zw\overline{z}\overline{w}\\&=(zw)(\overline{zw})\end{aligned}$$

entonces como $z\in\mathbb{C}$ y $w\in\mathbb{C}$ se tiene que $zw\in\mathbb{C}$, es decir tendrá la forma $zw=m+in$ luego $(zw)(\overline{zw})=m^2+n^2$, que es lo que se quería probar.

Para n+1 productos:

Es decir se supone que se cumple para $n$ productos, resulta de de forma inmediata que se cumple para $n+1$ productos.

---

Respecto a la segunda pregunta ¿$p$ es natural? .. de ser así podrías usar inducción también.

[javirk]

Re: Dudas en problemas que me estoy preparando para la Olimpiada

¡¡Wow!! ¡Muchas gracias! Ni se me había ocurrido pensar en números complejos para el primero. Para el segundo, pues no dice nada acerca de si son números naturales, así que me imagino que sí. Muchas gracias otra vez, [Beto]!

Un saludo!

[[Beto]]

Re: Dudas en problemas que me estoy preparando para la Olimpiada

¡¡Wow!! ¡Muchas gracias! Ni se me había ocurrido pensar en números complejos para el primero. Para el segundo, pues no dice nada acerca de si son números naturales, así que me imagino que sí. Muchas gracias otra vez, [Beto]!

Un saludo!

Hola, para el segundo ejercicio faltaría decir que $p\in \mathbb{R}-(-2,0)$, ya que no se cumple para todos los reales esa desigualdad, para notar eso intenta ver que sucede con la función $\left(\dfrac{p+2}{p+1}\right)^{p+1}$, al hacer un cambio de variable $p=s-1$ se puede escribir de la siguiente manera $\left(1+\dfrac{2}{s}\right)^s$ que es algo más sencilla de analizar.

[oscarmuinhos]

Re: Dudas en problemas que me estoy preparando para la Olimpiada

Ola Beto
Muy elegante esa demostración utilizando números complejos.

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=m^2+n^2$

Y hago una pregunta: podría utilizarse el teorema de Pitágoras para esa misma demostración?
Gracias

Y respecto al segundo ejercicio, $\left(\dfrac{p+2}{p+1}\right)^{p+1}$ con el cambio de variable que propones $\ p+1 \ = \ s$ conduce a la expresión siguiente:

$\dst \left(1 \ + \frac{1}{s}\right)^{s}$

y yo encuentro que si $\ p \epsilon \ R$ debemos excluir los números negativos además del $\ 0$

[[Beto]]

Re: Dudas en problemas que me estoy preparando para la Olimpiada

Muy elegante esa demostración utilizando números complejos.

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=m^2+n^2$

Y hago una pregunta: podría utilizarse el teorema de Pitágoras para esa misma demostración?
Gracias

A mi no se me ocurre como ...

[oscarmuinhos]

Re: Dudas en problemas que me estoy preparando para la Olimpiada

Ahora que he vuelto a pensar en ello encuentro que si, se refiere a números reales, la demostración es mucho más trivial:
si $a, b, c, d \epsilon \ R \Rightarrow (a^2 + b^2).(c^2 + d^2)\epsilon \ R$
Y es trivial que todo número real (que, dicho sea de paso, es siempre el cuadrado de su raíz) siempre se puede descomponer en una suma de cuadrados, pues siempre será se podrá obtener de infinitas maneras como suma de dos números reales..

Reflexionando sobre esto, imagino que el enunciado del problema de javirk ha de tener alguna otra condición.

Y respecto al segundo ejercicio, con el cambio de variable que propones conduce a la expresión siguiente:



y yo encuentro que si debemos excluir los números negativos además del

Y otra vez creo que el enunciado que ha dejado javirk no está completo!

[[Beto]]

Re: Dudas en problemas que me estoy preparando para la Olimpiada

Ahora que he vuelto a pensar en ello encuentro que si, se refiere a números reales, la demostración es mucho más trivial:
si $a, b, c, d \epsilon \ R \Rightarrow (a^2 + b^2).(c^2 + d^2)\epsilon \ R$
Y es trivial que todo número real (que, dicho sea de paso, es siempre el cuadrado de su raíz) siempre se puede descomponer en una suma de cuadrados, pues siempre será se podrá obtener de infinitas maneras como suma de dos números reales..

Respecto a esto, me parece que no es tan trivial que un número real se pueda expresar como la suma de dos cuadrados, es necesario demostrarlo para que el ejercicio quede completo y no únicamente decir que eso se cumple. Por otro lado yo no estoy suponiendo que son números complejos, solo uso a los números complejos para mostrar que esa igualdad se cumple en los reales.

[javirk]

Re: Dudas en problemas que me estoy preparando para la Olimpiada

Hola, oscarmuinhos, el enunciado está completo, aunque te da una pequeña "pista" para resolverlo (que se me olvidó escribir aquí, lo siento). Te dice: Mejor que por inducción es despejar $2<f(p)$ y aplicar el binomio de Newton, nada más, así que no sé.

Un saludo!

[oscarmuinhos]

Re: Dudas en problemas que me estoy preparando para la Olimpiada

Respecto a esto, me parece que no es tan trivial que un número real se pueda expresar como la suma de dos cuadrados, es necesario demostrarlo para que el ejercicio quede completo y no únicamente decir que eso se cumple. Por otro lado yo no estoy suponiendo que son números complejos, solo uso a los números complejos para mostrar que esa igualdad se cumple en los reales.

Hola Beto.
Entendí tu demostración. Sé que no estás suponiendo que a, b, c y d sean complejos, sino números reales con los que construyes los números complejos z y w. Entendí tu demostración.
Pero que un número real positivo (porque es la suma de cuadrados perfectos) se puede descomponer en suma de cuadrados es una trivialidad.
A ver: si $m \in R$ y $m>0$ $\Rightarrow \exists c \ =\sqrt{m}$ tal que $c^2\ = \ m$ y el resto igual de trivial.

Por eso decía yo que el enunciado de javirk me parecía ¿¿incompleto??

Un saludo

[[Beto]]

Re: Dudas en problemas que me estoy preparando para la Olimpiada

Hola Beto.
Entendí tu demostración. Sé que no estás suponiendo que a, b, c y d sean complejos, sino números reales con los que construyes los números complejos z y w. Entendí tu demostración.
Pero que un número real positivo (porque es la suma de cuadrados perfectos) se puede descomponer en suma de cuadrados es una trivialidad.
A ver: si $m \in R$ y $m>0$ $\Rightarrow \exists c \ =\sqrt{m}$ tal que $c^2\ = \ m$ y el resto igual de trivial.

Por eso decía yo que el enunciado de javirk me parecía ¿¿incompleto??

Un saludo

Ah claro, supongo que le hacía falta especificar que eran naturales, y según me parece en el segundo ejercicio p también debe de ser natural para poder seguir la sugerencia y usar inducción.

[oscarmuinhos]

Re: Dudas en problemas que me estoy preparando para la Olimpiada

Si se refiere a números naturales yo encuentro algunos casos en los que no se cumple la condición inicial del método de indución (excepto que se incluyese el 0 entre los naturales): que el producto de dos sumas de cuadrados sea una suma de cuadrados. Por ejemplo:
$(1^2 + 1^2).(1^2 + 1^2)\ = \ 4$
$(1^2 + 1^2).(2^2 + 2^2)\ = \ 16$
$(2^2 + 2^2).(2^2 + 2^2)\ = \ 64$

Algo no debe de estar del todo bien en el enunciado!

[[Beto]]

Re: Dudas en problemas que me estoy preparando para la Olimpiada

Si se refiere a números naturales yo encuentro algunos casos en los que no se cumple la condición inicial del método de indución (excepto que se incluyese el 0 entre los naturales): que el producto de dos sumas de cuadrados sea una suma de cuadrados. Por ejemplo:
$(1^2 + 1^2).(1^2 + 1^2)\ = \ 4$
$(1^2 + 1^2).(2^2 + 2^2)\ = \ 16$
$(2^2 + 2^2).(2^2 + 2^2)\ = \ 64$

Algo no debe de estar del todo bien en el enunciado!

Quizás deba ser para los enteros.

[oscarmuinhos]

Re: Dudas en problemas que me estoy preparando para la Olimpiada

Quizás deba ser para los enteros.

Pero como los naturales también son enteros.....algo no debe de estar del todo correcto en el enunciado

[[Beto]]

Re: Dudas en problemas que me estoy preparando para la Olimpiada

Pero como los naturales también son enteros.....algo no debe de estar del todo correcto en el enunciado

Pero todos los enteros no son naturales, esa propiedad claramente no se cumple en los naturales como haz indicado ... en el enunciado debieron especificar que se probara esto para los enteros.