1r ciclo Productos en espacios vectoriales

[Julián]

Los vectores son elementos de un espacio vectorial, es decir, son un conjunto de elementos para los cuales se ha definido dos operaciones, una interna denominada suma y otra externa denominada multiplicación por un escalar.
Pero en física se suele operar a los vectores mediante la operación producto punto y producto vectorial. Estas operaciones ¿cómo entran en el espacio vectorial? ya que no están definidas sobre los elementos del espacio (tenemos solo la suma y la multiplicación por un escalar) ¿cuando las utilizamos la estructura algebraica es diferente?

saludos.

[arivasm]

Re: Productos en espacios vectoriales

No todos los espacios vectoriales tienen definido un producto escalar. De hecho, los que sí lo tienen definido constituyen una categoría especial, llamados espacios prehilbertianos.

El producto vectorial no es una operación genérica definible en espacios vectoriales. Sólo se puede definir en espacios vectoriales de dimensión 3.

[Julián]

Re: Productos en espacios vectoriales

¿entonces el espacio prehilbertiano es una estructura algebraica $(A, +, *, .)$ en donde $*$ y $.$ son operaciones externas? ¿o una estructura $(A, .)$?

¿Todo espacio vectorial normado es un espacio prehilbertiano?

saludos.

[arivasm]

Re: Productos en espacios vectoriales

Sí, tanto el producto por un escalar como el producto escalar son operaciones externas. Lo que sucede es que mientras que el producto por un escalar es imprescindible para que la estructura cumpla con la definición de espacio vectorial, el producto escalar no lo es (es decir, puede haber espacios vectoriales que no sean prehilbertianos).

Sobre tu segunda pregunta entiendo que la respuesta es no, en el sentido de que se puede definir una norma sin necesidad de que esté definido un producto escalar.