Olimpiada Divisibilidad

[javirk]

Hola, estudiando problemas de divisibilidad para la Olimpiada he dado con una página web que lo explicaba bastante bien, con ejercicios resueltos, dejo la página: http://funciongamma.com/2011/03/vari...divisibilidad/

Entiendo todos menos uno (el 4), donde acaba poniendo $(n^{2}-1)(n^{13}-n)$ y dice que el primer factor ($(n^{2}-1)$) es divisible por 2 y el segundo es divisible por 13 (pone por 2, pero creo que es un fallo, vamos, espero), lo del segundo lo entiendo, ya que aplica la regla 5 que pone más arriba, pero lo del 2 no... He intentado probar que $(n^{2}-1)$ es divisible entre 2 pero no he sabido, ¿es realmente $(n^{2}-1)$ divisible entre 2? ¿Por qué?

Un saludo y gracias de antemano!

[angel relativamente]

Re: Divisibilidad

Hola javirk. En efecto, la demostración está mal hecha. Prueba con n=2 y verás como no se cumple.

[javirk]

Re: Divisibilidad

Hola, ¿entonces cómo se podría demostrar? Llevo un rato intentando pero nada.

Un saludo!

[arivasm]

Re: Divisibilidad

Es que lo que decía el previo que usa es que $n^p-n$ es divisible por p, con lo que $n^2-n$ es divisible por 2; pero lo aplica erróneamente a $n^2-1$. Me da la sensación de que la clave de la demostración está de nuevo en el factor $n^{13}-n$, que además de ser divisible por 13, también es divisible por 2: si n es par es evidente, si es impar tendremos que es igual a la resta de dos números impares, que es un número par.