Secundaria Sobre convergencia de sucesión

[eduardo2384]

Saludos amigos, tengo un problema el cual no encuentro mucho q hacer, dice así:

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Se sabe que: $(2+\sqrt{3})^n=a_n+b_n\sqrt{3}$

donde $a_n$ y $b_n\in\mathbb{Z}$; ademas

$\{C_n\}\,/\,c_n=\dfrac{a_n}{b_n}$

¿a q valor converge $\{C_n\}$ ?


Posibles respuestas: a)$\sqrt{3}$ b)$2\sqrt{3}$ c)$1/\sqrt{3}$ d)$\sqrt{3}/2$ e)$2/\sqrt{3}$

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Lo que me salta a la vista es darle valores a $n$ pero lo que obtengo :

$(2+\sqrt{3})^1=a_1+b_1\sqrt{3}$

$(2+\sqrt{3})^2=a_2+b_2\sqrt{3}$

$(2+\sqrt{3})^3=a_3+b_3\sqrt{3}$

no me ayuda en nada ¿que más podría hacer?

Gracias

[guibix]

Re: Sobre convergencia de sucesión

Muy buenas!

Puedes dar calcular las expresiones de la izquierda para encontrar los valores para $a_n$ y $b_n$

$(2+\sqrt{3})^1=2+\sqrt{3}\Rightarrow a_1=2, \,b_1=1$

$(2+\sqrt{3})^2=7+4\sqrt{3}\Rightarrow a_2=7, \,b_2=4$

$(2+\sqrt{3})^3=26+15\sqrt{3}\Rightarrow a_3=26,\, b_3=15$

$(2+\sqrt{3})^4=97+56\sqrt{3}\Rightarrow a_4=97, \,b_4=56$

Luego si,

$C_n=\dfrac{a_n}{b_n},$

entonces

$C_0=\dfrac 2 1=2$

$C_1=\dfrac 7 4=1.75$

$C_2=\dfrac {26}{15}\approx 1.7333$

$C_3=\dfrac {97}{56}\approx 1.7321$

Si continúas con alguna $n$ mayor, podrás ver que la convergencia es $\sqrt{3}\approx 1.73205.$

Salud!

[eduardo2384]

Re: Sobre convergencia de sucesión

Muchas gracias por ayudarme.