1r ciclo Espacios vectoriales en física

[Julián]

El espacio físico es un espacio de hilbert es decir un espacio vectorial que además tiene como operación externa el producto punto.

Un punto del espacio está dado por el vector posición $P=(x [m],y [m] ,z [m])$ cuya magnitud de las componentes es en metros. La fuerza es también una magnitud vectorial de la forma $F=(x[N], y[N], z[N]$ pero a diferencia del espacio las componente tienen otra magnitud, el newton. Así que son dos espacios vectoriales diferentes.
Pero que se relacionan, así por ejemplo en el punto métrico ${P}_{0}=({x}_{0}[m],{y}_{0}[m], {z}_{0}[m])$ se aplica una fuerza ${F}_{0}=({x}_{0}[N],{y}_{0}[N], {z}_{0}[N])$ ¿Estos son dos aspectos vectoriales de una misma cosa o son dos espacios vectoriales relacionados?

Espero que se entienda el interrogante, saludos.

[arivasm]

Re: Espacios vectoriales en física

Son dos espacios vectoriales diferentes, que deberán tener en común una base de vectores adimensionales, determinada por el sistema de coordenadas utilizada. Aunque es muy frecuente en ejercicios de Física dibujar velocidades o fuerzas en sistemas de coordenadas de posiciones, por ejemplo, en realidad deberían dibujarse en lo que se llamaría el espacio de velocidades o el espacio de fuerzas.

[Julián]

Re: Espacios vectoriales en física

¿a qué te refieres con una base de vectores adimensionales?

[arivasm]

Re: Espacios vectoriales en física

Me refiero a que deben ser vectores sin unidades, como los tradicionales $\vec\imath$, $\vec\jmath$, $\vec k$

[Julián]

Re: Espacios vectoriales en física

Ah, así por ejemplo en el espacio vectorial posición, en particular en la posición ${P}_{0}=({x}_{0}[m],{y}_{0}[m],{z}_{0}[m])$ es el punto inicial de un vector $dir=a\hat{\imath}+b\hat{\jmath}+c\hat{k}$ que expresa la dirección del cambio de posición producido por el vector (fuerza neta) ${F}_{0}=({x}_{0}[N],{y}_{0}[N],{z}_{0}[N])$ del espacio vectorial fuerza. ¿es así?

[arivasm]

Re: Espacios vectoriales en física

No entendí bien a qué te refieres. En el espacio vectorial posición se definen todos los vectores que atañen a las coordenadas, lo que incluye a las posiciones y a los desplazamientos. Con respecto a las fuerzas, recuerda que lo que se relaciona con ellas son las aceleraciones, mientras que los desplazamientos están relacionados con las velocidades.

[Julián]

Re: Espacios vectoriales en física

Entonces la realcion entre los dos espacios vectoriales es que uno produce una modificación en el otro, así el espacio vectorial fuerza está implícito en el de posiciones mediante el vector aceleración. ¿sería así?

[arivasm]

Re: Espacios vectoriales en física

Recordemos que los espacios vectoriales son herramientas matemáticas para representar la realidad. El espacio de posiciones es un elemento (en realidad de un espacio afín) que se usa para representar las posiciones de partículas puntuales. Dichas posiciones, y entonces los vectores que las representan evolucionan en el tiempo, y sus derivadas constituyen un nuevo espacio vectorial que es el de velocidades. Análogamente definiremos el de aceleraciones, que de acuerdo con la 2ª ley de Newton está relacionado con un cuarto espacio vectorial que es el de fuerzas.

¿Por qué necesitamos manejar un espacio vectorial diferente cada vez que planteamos una nueva magnitud? Por una sencilla razón: el propio concepto de espacio vectorial, como conjunto de elementos para los que se definen operaciones *entre sí* y sobre un cuerpo asociado (el de los números reales o el de los complejos) según unas reglas determinadas. En definitiva, cuando "metemos en el mismo saco" posiciones y fuerzas, por ejemplo, estaremos mezclando elementos que necesariamente pertenecen a dos espacios vectoriales diferentes, toda vez que no hay operaciones lícitas (propias de un espacio vectorial) que se puedan realizar entre ellos; así, por ejemplo, no podemos sumar una posición con una aceleración. De todos modos, esto no debe confundirnos: hay reglas (leyes físicas) que establecen relaciones entre unos y otros, tales como $\dst\vec F=m\frac{\dd^2 \vec r}{\dd t^2}$, pero que son propias, en su aplicación, de cada sistema físico: la relación existente entre los espacios de posiciones y de fuerzas para un satélite y para una pluma arrastrada por el viento sólo tienen en común las leyes de la Mecánica, pero nada más, puesto que las propias fuerzas guardan relaciones con las coordenadas y velocidades que son bien diferentes en cada caso (es decir, las expresiones de las $\vec F_i(\vec r,\vec v, t)$ no son las mismas).