Secundaria exponencial compleja

[jggri]

Hola a todos.
Alguien sabría decirme porque la siguiente igualdad:
$\ln\left(e^{i2\pi}\right) = i2\pi$
No es cierta.
Saludos.

[gdonoso94]

Re: exponencial compleja

Creo que es por esta definición:




El logaritmo de un complejo no es como el logaritmo de un real. Comprueba que se cumple esa igualdad.

Un saludo.

[jggri]

Re: exponencial compleja

Gracias por la respuesta.
Si expresamos en forma binómica el número complejo vemos que el resultado es 1:
$e^{2i\pi} = \cos(2\pi) + i\sin(2\pi) = 1$
El logaritmo de 1 es 0 y en consecuencia no se verifica la igualdad.

[guibix]

Re: exponencial compleja

La función $e^{ix}$ se puede definir de la siguiente manera:

$e^{xi}=\cos x+i\sin x$

Si pones $x=2\pi$ te queda que $e^{i2\pi}=1$

La función exponencial imaginaria es una función circular y vuelve al origen cada $2\pi$ radianes. En otras palabras $1=e^0=e^{i2\pi}=e^{i4\pi}=...etc.$

Cualquier exponencial imaginario con el producto de $i$ mayor que $2\pi,$ tiene que expresarse con su equivalente en radianes en un intervalo entre 0 y $2\pi$ antes de resolver el logaritmo.

En éste caso $ln(1)=0\neq i2\pi.$

Saludos.

[jggri]

Re: exponencial compleja

Otra duda que me ha surgido es la siguiente:
$i^{z} = 1 \Rightarrow \log_{i}{i^{z}} = \log_{i}{1} \Rightarrow z =\log_i{1} \Rightarrow z = \frac{\ln{1}}{\ln{i}} = \frac{0+i2k\pi}{\frac{\pi}{2}i +2ik\pi} = \frac{4k}{1+4k}$
Sin embargo según Wolframalpha el resultado debería ser $4k$ y de hecho es $4k$ puesto que por ejemplo para $k=1$:
$i^{4}= i^{2}\cdot i^{2}=(-1)\cdot(-1)=1$
Pero por más vueltas que le doy no consigo averiguar donde está el fallo. Haber si me puedéis dar alguna pista.

[guibix]

Re: exponencial compleja

$i^{4}= i^{2}\cdot i^{2}= \sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}= \left(\sqrt{-1}\right)^2 = -1$
Pero por más vueltas que le doy no consigo averiguar donde está el fallo. Haber si me puedéis dar alguna pista.

Más bien diría que es

$i^4=i^2\cdot i^2=(-1)\cdot(-1)=(-1)^2=1$

[jggri]

Re: exponencial compleja

Más bien diría que es

$i^4=i^2\cdot i^2=(-1)\cdot(-1)=(-1)^2=1$

Si