Secundaria Sobre ecuación cuadrática

[eduardo2384]

Saludos amigos, aqui con un problema que me genera una duda, dice así:

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Determine la cantidad de valores enteros para , si la ecuación cuadrática en , , tiene raices racionales.

Posibles respuestas:

a)1 b)2 c)3 d)4 e)más de 4


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Lo que yo hice fue aplicar la fórmula general y obtuve:



de donde puedo buscar valores para que éstas soluciones sean racionales. Sin embargo el valor que encuentro para es . Si voy probando no encuentro más valores adecuados para , todos los demás me generan números irracionales. Mi pregunta es, ¿existen más valores de ?

Gracias.

[guibix]

Re: Sobre ecuación cuadrática

Sin embargo el valor que encuentro para es . Si voy probando no encuentro más valores adecuados para , todos los demás me generan números irracionales. Mi pregunta es, ¿existen más valores de ?

No, no existen otras soluciones para $n$ que cumpla las condiciones. Pero son dos soluciones, por lo que la respuesta correcta sería la b.

La manera de demostrarlo sin tener que ir probando valores para $n$, es fijándote con el contenido de la raíz. La parte del sumando $n^2$ debe ser un número cuadrado perfecto. Como sabrás los cuadrados perfectos están cada vez más separados entre ellos cuanto mayor sean (0,1,4,9,16,25,36, etc.). Para que se cumplan las condiciones que se piden, la suma de todo el contenido de la raíz debe ser un cuadrado perfecto también. De manera que $n^2$ es un cuadrado perfecto y $n^2+8$ también. Por lo tanto, los dos únicos cuadrados perfectos que tienen 8 de diferencia son el 1 y el 9. Y es cuando $n^2=1$ y $n^2+8=9$. Cualquier otro par de cuadrados perfectos no distan 8. De hecho, cualquier par de distintos cuadrados perfectos superiores a 9 distarán más de 8.

Saludos.