1r ciclo Método para aproximaciones

[Eulerfisico]

Pues mas que una pregunta, es un aporte que les traigo
lo hago porque muchas veces hacer aproximaciones puede reducir la complejidad de nuestras ecuaciones o darnos un estimativo de algo si no tenemos herramientas para hacerlo
les dejo el caso particular de una aproximación lineal y una cuadrática, las de orden superior siguen el mismo principio, pero para la mayoría de los casos con estas dos es suficiente

CASO LINEAL

$f(x) =f(Xo) + f '(Xo)(X-Xo)$[FONT=Verdana]
[/FONT] si lo ven f(xo) es simplemente el valor de la funcion en Xo, f ' (Xo) es su pendiente en Xo, si despejan

$f(x) - f(Xo) = f' (Xo)(X-Xo)$

pero que es este resultado?
es tan solo
$Y-Yo = m(X-Xo)$ la ecuación general de la recta
el metodo lo que hace es aproximar un valor puntual con la recta tangente a f(x) en Xo

siempre que X sea próximo a Xo (sino la aproximacion se alejaría mucho y tendría errores importantes)

CASO CUADRÁTICO

en este les "demuestro" el método ya que combina el linea el anterior, tomare el caso Xo= 0 para comodidad de la demostración el que quiera lo puede hacer con un Xo general pero se hace mas largo, aunque el procedimiento es le mismo

sea $f(x) = a +bX +c{X}^{ 2}$

entonces
f(0)= a
f '(0) = b
f'' (0)= 2c

como queremos ajustar a $f(X) = a +bX +c{X}^{ 2}$ resulta muy natural que la aproximación sea

$f(x) \approx f(0) + f '(0)X + \frac{1}{2} f '' (0){X}^{2}$ siempre que X sea cercano a 0

si lo quieren demostrar en el caso generico de Xo deben llegar a

$f(X) \approx f(Xo) + f '(Xo)(X-Xo) + \frac{1}{2} f '' (Xo)({X-Xo})^{2}$ esto es valido siempre que X se acerque a Xo

un ejemplo puede ser si queremos aproximar a Ln (x+1) y no tenemos una calculadora o no queremos incluir en nuestras ecuaciones terminos que pudiecen complicarlas innecesariamente, que hacemos? o.o

aplicando la definición haciendo una aproximación cuadrática (no lo hago lineal porque el logaritmo pareciera una parábola en ciertas secciones por lo que es una mejor aproximación que una linea recta)

$Ln(x+1)\approx X - \frac{{X}^{2 }}{2}$ esta aproximación es para Xo=0

es decir para X cercano a 0, que tan cercano debe ser se preguntaran? pues depende de que % de error permitan
en este caso con X= 0.1 es lo suficientemente cercano a 0
si tomamos en la calculadora
Ln(1.1)= Ln(1+0.1) 0.0953
con el la aproximación da 0.095

bastante cercano a mi parecer, y puede ser un método util si no necesitas 100% de precision


espero que les ayude, saludos


EDIT: Soy nuevo en este foro, si alguien me pudiese decir que comando debo poner para que aparezcan bien los símbolos de las ecuaciones se lo agradecería ya que no salio como esperaba xD

[arivasm]

Re: Método para aproximaciones

Pero... lo que has puesto es el método de Taylor!, truncado al orden 1 o al 2, pero sin la cota de error, ni el radio de convergencia... Prueba a manejar cúbicas y apuesto lo que sea que el resultado será $P(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2+\frac{1}{6}f'''(x_0)(x-x_0)^3$.

Por cierto, para poner ecuaciones en los mensajes debes encerrarlas entre [tex] y [/tex]. Léete este hilo.

[Eulerfisico]

Re: Método para aproximaciones

Si, es una pequeña modificación al método de Taylor, pero lo expongo asi porque me parece que es mas sencillo de entender, sobre todo para aquellos que apenas emprenden su camino por el mundo matemático y fisico , igual es valida tu observación

y gracias por lo de [tex] , lo había intentado pero me aparecía un error ya que lo copie mal xd

[gdonoso94]

Re: Método para aproximaciones

¿Pero cuál es la modificación?

Un saludo!

[Eulerfisico]

Re: Método para aproximaciones

La modificación consiste en que el método de Taylor es una sumatoria infinita cuyos términos expresan la n-esima derivada de la función, este método se basa en esa sumatoria pero solo tiene en cuenta las potencias menores o iguales al grado de la aproximación que estés haciendo, es decir, si aproximas mediante el primero método y te aparece un termino cuadrático o superior debes eliminarlos de tus calculos ya que te basas en el supuesto de una aproximacion por una linea recta
te lo pongo como ejemplo

digamos que quieres aproximar

$\frac{{e}^{-3x }}{ \sqrt{1+x}}$

puedes usar el método para el numerador, luego para el denominador y dividir ambos resultados

te pongo el resultado y ya si quieres lo compruebas; usando el método lineal llegas a que la aproximacion es

$1 -\frac{7}{2}X + \frac{3}{2}{X}^{2}$

pero como se esta usando el método lineal solo se puede considerar como resultado

$1 -\frac{7}{2}X$

es decir, se deben eliminar todos los términos de orden superior

el método de taylor considera los términos de cualquier orden que pudiesen resultar

espero que eso resuelva la duda, sino intento volverlo a explicar :P

[gdonoso94]

Re: Método para aproximaciones

A ver, sencillamente reduces la aproximación al polinomio de primer orden del desarrollo de Taylor de la función, ¿no? Es una aproximación útil, pero ten en cuenta que puede ser enormemente impreciso...

[arivasm]

Re: Método para aproximaciones

...el método de Taylor es una sumatoria infinita...

Te recomiendo que estudies con calma el teorema de Taylor, pues veo que lo asocias con un polinomio de grado infinito, lo que no es cierto.

Lo que escribes en el resto del post *es* parte del teorema de Taylor!

[Eulerfisico]

Re: Método para aproximaciones

nono, no estoy diciendo que sea un polinomio infinito, si yo fijo n= 5 por decir algo puedo tener un buen desarollo de la serie, quizas no me he hecho entender muy bien en mi punto de visto

[gdonoso94]

Re: Método para aproximaciones

Si tu fijas n=5 y reduces la expresión al primer término para que salga una recta, es como si fijas n=1.

Pero lo que creo que tratamos de decirte arivasm y yo, es que sencillamente estás desglosando el teorema de Taylor de una forma tal que la pueda entender cualquiera que sepa derivar. ¿Me equivoco?

[Eulerfisico]

Re: Método para aproximaciones

exacto, por eso decía que ponía un método un poco mas sencillo, pues si sabes usar bien el método de taylor este se vuelve obsoleto, pero esta es una buena aproximación para procedimientos no muy rigurosos y si los conocimientos de calculo son los básicos
es decir, si quieres puedes hacer una transformada de fourier... pero todo depende de lo que necesites
espero que eso aclare las cosas

[arivasm]

Re: Método para aproximaciones

...si quieres puedes hacer una transformada de fourier...

No veo la relación por ninguna parte!

[Eulerfisico]

Re: Método para aproximaciones

A lo que me refiero no es a aplicarle la transformada de fourier a la función para expresarla de la manera que expongo al principio, solo fue un comentario de que lo que usemos dependera de lo que necesitemos, no hay que ser tan rigurosos en ciertos casos
me refiero a que por métodos matemáticos puedo expresar algo de varias maneras y no tengo que utilizar un método único, las consideraciones o suposiciones que se hagan serán proporcionales al grado de precisión que necesite, es decir, si estamos estudiando una cuerpo en condiciones de baja energia la relacion

$F=ma$

podría describir bien un fénomeo, por ejemplo el movimiento parabólico
pero si consideramos condiciones en las que la velocidad del cuerpo es comparable con la velocidad de la luz, hay que hacerle ciertas correcciones relativistas a este modelo

es lo mismo que con la el método de taylor y el que expongo, si no necesitas tanta rigidez y tus cálculos no deben ser demasiado precisos, el método que expongo puede ser usado sin grandes conocimientos avanzados de matemáticas y de una manera sencilla y entendible

el único propósito de este post fue proporcionar un método no riguroso que fuera fácil de utilizar y nos diera cierta idea de aproximaciones por medio de rectas y parábolas, nada mas