Secundaria Hallar el Rango de \sqrt{36x-2}

[natanael]

Mi hermana está viendo rango de una función y necesito hallar el rango de $\sqrt{36x-2}$ y cualquier función, pero por medio de una serie de pasos sistemáticos. Nada de gráficas.

Gracias.

parece que es una de los 7 problemas del milenio

[gdonoso94]

Re: Hallar el Rango de \sqrt{36x-2}

Hola

Que recuerde asi a bote pronto, me enseñaron a hallar el rango cambiando la variable independiente, es decir, hallando la inversa, y resulta que el dominio de la funcion inversa es el rango de la primera funcion. Me entiendes?

Un saludo!

[guibix]

Re: Hallar el Rango de \sqrt{36x-2}

Efectivamente hay que hallar el dominio de la función inversa.

Si tenemos que $y=f(x)$ entonces también podemos decir que $x=f^{-1}(y)$.

Eso nos lleva a que el rango de $f(x)$ es igual que el dominio de $f^{-1}(y)$.

Supongo que no tendrás problemas para hallar el dominio de cualquier función.


Saludos.

[natanael]

Re: Hallar el Rango de \sqrt{36x-2}

Yo me acuerdo que lo hacíamos así:

Sea $y=f(x)$ y $f(x)=\sqrt{36x-2}$

entonces intercambiabamos las variables, es decir:

$x=\sqrt{36y-2}$

$x^2=36y-2$

luego despejabamos x

$y=\frac{x^2+2}{36}$

Ahora $Dom f(x):$ $[\frac{1}{18};\infty)$

y $Dom f^{-1}(x):$ Todos los reales.

Pero la gráficas es:



y parece ser que el rango es desde 0 en adelante.

[gdonoso94]

Re: Hallar el Rango de \sqrt{36x-2}

Ten en cuenta que tienes x^2 y una suma, eso siempre es positivo. Un saludo

[guibix]

Re: Hallar el Rango de \sqrt{36x-2}

Buenas,

y parece ser que el rango es desde 0 en adelante.

Cuando se busca la función inversa lo que se hace es intercambiar los ejes de la función original. Eso se consigue simplemente despejando la variable independiente "convirtiéndola" en variable dependiente. La función inversa es simétrica a la original con el eje de simetría en la recta oblicua $x-y=0$. Luego si la función $x^2$ es una parábola, su inversa es otra parábola con su parte cóncava mirando a la derecha. Aquí es donde pueden aparecer las soluciones múltiples y hay que tener cuidado.

Todo esto para decir que, estrictamente hablando, si despejamos la $x$ de la expresión $y=x^2$ obtenemos $x=\pm\sqrt{y}$, en donde se encuentra el rango negativo que has omitido.