Otras carreras laplace con euler

[LauraLopez]

Encuentre la transformada de Laplace de $\dst 5 {e}^{-2t } \cos (3t + 12\°)$. Use la identidad de euler y linealidad.

Alguna ayuda?

Gracias

[Breogan]

Re: laplace con euler

Hola:

Encuentre la transformada de Laplace de $\dst 5 {e}^{-2t } \cos (3t + 12\°)$. Use la identidad de euler y linealidad.

La linealidad de la transformada de Laplace indica que:

$\dst \mathcal{L} \left[a\ f(t)+b\ g(t) \right]=a\ \mathcal{L} \left[ f(t) \right]+b\ \mathcal{L} \left[g(t) \right]$

y esto se demuestra fácilmente a partir de la definición de la transformada.

La identidad de Euler dice:

$\dst \ee^{jx}= cos x+j senx$

ó

$\dst \ee^{-jx}= cos x-j senx$


de estas dos se deduce que:

$\dst cos x=\frac {\ee^{jx}+\ee^{-jx}} 2$

Reemplazando esta ultima en la función que te dan en el enunciado, te queda una funcion como la suma de dos terminos. Al hacer la transformada de esta ultima es donde aplicas la condición de linealidad de la transformada.

Espero se entienda, intentalo y postea tus resultados.

Suerte

[LauraLopez]

Re: laplace con euler

Hola Bregon, te comento lo que hice segun lo que me explicaste y las dudas...

Primero luego de que se encuentra esa expresion del $\dst \cos x$ entonces llamo $x= 3t + 12$

y al reemplazar en la funcion original tengo :

$\dst f(t) = 5 {e}^{-2t } \left( \frac{{e}^{j (3t +12) } + {e}^{-j(3t + 12) }}{2 } \right) = \frac{5}{2 } {e}^{-2t } \left( {e}^{j (3t + 12) } + {e}^{-j (3t + 12) } \right)$

Distribuyo un poco para que me quede algo mas "similar" a la propiedad de linealidad :

$\dst f(t) = \frac{5}{2 } {e}^{(-2 + 3j)t + 12 j } + \frac{5}{2 } {e}^{- (2 + 3j)t - 12 j } = \frac{5}{2 }{e}^{12j } {e}^{(-2 + 3j) t } + \frac{5}{2 } {e}^{-12 j } {e}^{- (2 + 3j) t }$

Ahora aplico la transformada y la propiedad de linealidad:

$\dst F(s)= \int_0^\infty f(t) {e}^{-st } dt = \frac{5}{2 } {e}^{12j } \int_0^\infty {e}^{(-2 + 3j)t } {e}^{-st } dt + \frac{5}{2 } {e}^{-12j } \int_0^\infty {e}^{- (2 + 3j)t } {e}^{-st } dt$

Luego resuelvo sabien que :

$\dst \mathcal{L} \left[\ {e}^{-at }\right] = \frac{1}{ s + a}$

Entonces tengo que :

$\dst F(s) = \frac{5}{2 }{e}^{12 j } \frac{1}{ s +2 -3j} + \frac{5}{2 }{e}^{-12j } \frac{1}{s +2 +3j}$

Perdona que detalle tanto los pasos pero es para que puedas seguirlo mas facil y que todavia no estoy "canchera" con este tema.

Te parece que hice bien?
Ademas me faltaria poder indicar para que intervarlos es valida la F(s) no? pero nose como hacer esto , porque a diferencia de otros ejercicios aca no resolvi la integral valuandola en 0 e infinito sino que simplifique usando la tabla de transformada de laplace ( espero haberla usado bien) , hay alguna forma de obtener los valores para los cuales es valida habiando usado este metodo de resolucion?

[Breogan]

Re: laplace con euler

Ahora aplico la transformada y la propiedad de linealidad:

Solo por ser quisquilloso, en lo anterior aplicas la distributividad de el producto respecto de la suma y la linealidad de la integral, no esta mal solo que así se comprueba la linealidad de la transformada.

Lo que te pide el enunciado es partiendo de la linealidad, es decir:


$\dst \mathcal{L}\left[ \frac{5}{2 }{e}^{12j } {e}^{(-2 + 3j) t } + \frac{5}{2 } {e}^{-12 j } {e}^{- (2 + 3j) t } \right]=\frac{5}{2 }{e}^{12j }\mathcal{L}\left[ {e}^{(-2 + 3j) t } \right]+ \frac{5}{2 } {e}^{-12 j } \mathcal{L}\left[ {e}^{- (2 + 3j) t } \right]$

es solo por ser puntilloso

Te parece que hice bien?

El procedimiento esta bien; me cuesta seguir los desarrollos de los demás (es un problema estrictamente mio ).

Ademas me faltaria poder indicar para que intervarlos es valida la F(s) no? pero nose como hacer esto , porque a diferencia de otros ejercicios aca no resolvi la integral valuandola en 0 e infinito sino que simplifique usando la tabla de transformada de laplace ( espero haberla usado bien) , hay alguna forma de obtener los valores para los cuales es valida habiando usado este metodo de resolucion?

Segun la Wiki es:

$\dst \mathcal{L} \left[ \ee^{- \alpha t} \right]=\frac 1 {s+\alpha} \quad \forall \quad s>- \alpha$

pero esto es considerando que $\alpha$ es real.

Si $\alpha$ es complejo resulta que:

$\dst \mathcal{L} \left[ \ee^{- \alpha t} \right]=\frac 1 {s+\alpha} \quad \forall \quad s>- Re \left[\alpha \right]$

Esto ultimo habría que demostrarlo, yo no lo hice ni lo vi en ningún apunte así que no lo puedo afirmar.

Podes partir de:

$\alpha=a+jb$

y

$\dst \int_0^\infty\ee^{- \alpha t} \ee^{-s t} dt=\int_0^\infty\ee^{- (a+jb) t} \ee^{-s t} dt=\int_0^\infty \ee^{- (a+s+j b) t} dt$

seguilo y demostra si lo que dije esta bien ó no.

Suerte

[LauraLopez]

Re: laplace con euler

mmmmmm no entendi eso ultimo que decis.... o sea que resolvi mal el ejercicio? no entiendo porque tengo que demostrar eso que decis como parte del enunciado.... la F(s) que llego no es correcta? con respecto a encontrar para que valores es valida creo que seria s>0 siempre...segun le entendi a arivasm en otro hilo sobre laplace

[Breogan]

Re: laplace con euler

Hola:

mmmmmm no entendi eso ultimo que decis.... o sea que resolvi mal el ejercicio?

Si lees el post anterior, nunca dije eso.

En cuanto a lo ultimo del anterior post solo era para ver como se encuentra la región de convergencia de una función exponencial con exponente complejo, ya que si el exponente fuera real aparece en todas las tablas.

Completo lo ultimo del post anterior:


Segun la Wiki es:

$\dst \mathcal{L} \left[ \ee^{- \alpha t} \right]=\frac 1 {s+\alpha} \quad \forall \quad s>- \alpha$

pero esto es considerando que $\alpha$ es real.

Cuando $\alpha$ es complejo podemos partir de:

$\alpha=a+jb$

y resulta que:

$\dst \mathcal{L} \left[ \ee^{- \alpha t} \right]=\mathcal{L} \left[ \ee^{- (a+jb)\ t} \right]=$

$\dst =\int_0^\infty\ee^{- (a+jb) t} \ee^{-s t} dt=\int_0^\infty \ee^{- (a+s+j b) t} dt=$

$\dst =\left[- \frac {\ee^{- (a+s+j b) t}}{(a+s+j b)} \right]_0^\infty=\left[- \frac {\ee^{- (a+s) t }\ \ee^{-jb t}}{(a+s+j b)} \right]_0^\infty=$

$\dst =\left[- \frac {\ee^{- (a+s) \infty }\ \ee^{-jb \infty}}{(a+s+j b)} \right]-\left[- \frac {\ee^{- (a+s) 0 }\ \ee^{-jb 0}}{(a+s+j b)} \right]$

El 1º corchete estara definido (en este caso se hara igual a cero) cuando s+a>0, para otros valores este corchete se hace infinito; el segundo corchete siempre sera igual a $\dst -\frac 1{(a+s+j b)}$ para cualquier valor de s.

Por lo tanto:

$\dst \mathcal {L} \left[ \ee^{-(a+jb)\ t} \right]=\frac 1 {a+s+j b} \quad \forall \ s \ tal \ que \ s+a>0$

como $a=Re\left[\alpha \right]$ resulta que la región de convergencia esta definnida por los valores de s que cumplen que $s>-Re\left[\alpha \right]$

Otra forma de ponerlo.

Si $\alpha$ es complejo resulta que:

$\dst \mathcal{L} \left[ \ee^{- \alpha t} \right]=\frac 1 {s+\alpha} \quad \forall \ s \ tal \ que\ \quad s>- Re \left[\alpha \right]$

no entiendo porque tengo que demostrar eso que decis como parte del enunciado.... la F(s) que llego no es correcta? con respecto a encontrar para que valores es valida creo que seria s>0 siempre...segun le entendi a arivasm en otro hilo sobre laplace

No es parte del enunciado y no tenes por que demostrarlo, si ya lo sabias esta bien; yo no estaba seguro (y no lo encontré) y procedí a demostrarlo, este resultado te ayuda para encontrar la región de convergencia de la transformada de la función original, y no va a ser siempre s>0.

Suerte

[LauraLopez]

Re: laplace con euler

La verdad creo que me sigue costando mucho esto de encontrar la region de convergencia....intentare hacerlo para este ejercicio y espero me puedas decir si esta bien y ayudarme a sacarme las dudas...

Al aplicar la transformada como dije antes la respuesta a la que llego es :





Aca tengo 2 terminos asi que segun te entendi deberia encontrar la region de convergencia de cada uno de ellos y luego hacer la interseccion.

Como ambas transformadas las hice por tabla, deberia buscar en la tabla cual es dicha region de convergencia no? asi que consulto la tabla de la wiki que vos me pasaste ya que mi libro no tiene una tabla con dicha informacion y como a su vez en la wiki tampoco figura esta informacion , debo usar esto que vos me demostraste :

Por lo tanto:



Entonces usando esto para mi primer termino seria : $\dst s+2 > 0$ y para el segundo termino seria exactamente lo mismo asi que la respuesta es s+2 > 0. Esta bien?

[arivasm]

Re: laplace con euler

La región de convergencia está correcta, aunque, puesto que estás manejando complejos es mejor expresarla como que Re(s+a)=Re(s)+a>0, es decir, Re(s)>-a.

De todos modos, aún no has terminado el ejercicio. Te falta operar, por ejemplo comenzando por

$\dst \frac{2}{5}F(s)=\frac{\ee^{12j}}{s+2-3j}+\frac{\ee^{-12j}}{s+2+3j}=\frac{\ee^{12j}(s+2+3j)+\ee^{-12j}(s+2-3j)}{(s+2)^2+9}$

[LauraLopez]

Re: laplace con euler

mmm pero multiplicar a la F(s) por 2/5 en que me ayuda? si la F(s) la deberia dejar sola para poder poner F(s) = .... igualmente si se podria operar para reducir la expresion

[arivasm]

Re: laplace con euler

Lo de multiplicar por 2/5 sólo era para que se viese mejor el trabajo pendiente. Puedes dejarlo en su sitio, si quieres.