Otras carreras grafico de f(t)

[LauraLopez]

Determinar F(s) para la sieguiente f(t)

en el eje real se marca el 1 y el 5 y la funcion dice que es $\dst {e}^{-2t }$ para 1<t<5

Es hacer la transformada de esa f(t)? o sea la respuesta es $\dst F(s) = \frac{1}{ s+2}$ o debo usar algo como la parabola unitaria? digo porque este es otro inciso del mismo ejercicio que postie antes donde use el escalon unitario.

Por ultimo , en caso que la respuesta sea esa F(s) que dije, como encuentro los valores de s para los cuales es valida?

Gracias

[arivasm]

Re: grafico de f(t)

Quizá un enfoque sería tener en cuenta que la función de la gráfica es $\ee^{-2t}u(t-1)u(5-t)$ y entonces aplicar las propiedades de la transformada de Laplace de desplazamiento en el tiempo y en la frecuencia. De todos modos, lo más sencillo es hacer directamente la integral de la definición:

$\dst F(s)=\int_0^\infty \ee^{-st}f(t)\dd t=\int_1^5 \ee^{-st}\ee^{-2t}\dd t=$
$\dst \int_1^5 \ee^{-(s+2)t}\dd t=\frac{1}{s+2}\left[\ee^{-(s+2)}-\ee^{-5(s+2)}\right]=\frac{\ee^{-(s+2)}}{s+2}-\frac{\ee^{-5(s+2)}}{s+2}$

Con respecto a la convergencia, entiendo que la integral es convergente para todo s salvo s=-2. De todos modos, en las transformadas de Laplace se restringe siempre a s>0 (es más, en este caso habría problemas con el comportamiento para $t\to\infty$ si s<0), con lo que esta transformada sería válida para todo s>0.

[LauraLopez]

Re: grafico de f(t)

mm vamos de a poco, primero eso que nombras que se llama " desplazamiento en el tiempo y en la frecuencia " aun no lo vi ( mirando el libro mas adelante aparece )

Igualmente veo que lo resolviste sin usar ese concepto no? no me queda bien claro si la f(t) es : $f(t) = {e}^{-2t }$ o si es $f(t) = {e}^{-2t } u(t-1) u(t-5)$ ( creo que es esta ultima)

Si es esa ultima igual porque es esa? no me queda blien claro como es la "estrategia" para armar la f(t) mirando ese grafico....

PD: es u(t-5) ? porque veo que vos pusiste u(5-t) no estoy muy segura de como se hace para encontrara la f(t) mirando el grafico

PD2: otro detalle es que cuando en el enunciado puse 1<t<5 esos signos de mayor y menor son con el igual, eso cambia en algo lo que hiciste?

[arivasm]

Re: grafico de f(t)

lo resolviste sin usar ese concepto no?

Eso es. No lo usé.

no me queda bien claro si la f(t) es : $f(t) = {e}^{-2t }$ o si es $f(t) = {e}^{-2t } u(t-1) u(t-5)$ ( creo que es esta ultima)

Si es esa ultima igual porque es esa?

Recuerdas los ejercicios que hiciste hace tiempo con funciones escalón? u(t-1) es un escalón que vale 0 para t<1 y 1 para t>1. u(5-t) es un escalón "al revés": vale 1 para t<5 y 0 para t>5. Si multiplicas las dos te queda un "escalón-doble" que vale 0 para t<1, luego vale 1 para 1<t<5 y luego vuelve a valer 0 para t>5.

La multiplicación por la exponencial claramente nos da la función de la figura.

cuando en el enunciado puse 1<t<5 esos signos de mayor y menor son con el igual, eso cambia en algo lo que hiciste?

No

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Acabo de darme cuenta de que no hace falta manejar el escalón doble con productos de funciones u, sino con sumas. Perdona, por tanto, si te he liado por ese motivo. Por tanto, la forma más sencilla de representar la función es con $f(t)=\ee^{-2t}[u(t-1)-u(t-5)]$.

Esto no cambia el que se pueda obtener la transformada directamente, pero facilita mucho su obtención con tablas, mientras que el enfoque de los productos, que puse antes, lo complica.