Otras carreras grafico rampa

[LauraLopez]

Determine F(s) para la siguiente f(t).

La grafica en el eje vertical se marca un -2 y un 2. Luego en el eje horizontal hay un 1 y un 3.

Creo que para obtener la f(t) debo dividirla en 2 partes y sumarlas no?

$\dst f_1(t)= 2 \left[ u(t) - u(t-1)\right]$

$\dst f_2(t)= - 2 \left[ r(t-1) - r(t-3)\right]$

Luego $\dst f(t) = 2 u(t) - 2u(t-1) - 2 r(t-1) + 2 r(t-3)$

Asi se encuentra la f(t) , esta bien eso que hice?

donde r(t) es la rampa unitaria.

gracias

[arivasm]

Re: grafico rampa

Yo creo que debes hacer la integral de la definición sin más complicaciones. Es decir, manejar una f(t)=2 si 0<t<1, f(t)=t-3 si 1<t<3, y f(t)=0 si t<0 o t>3.

[LauraLopez]

Re: grafico rampa

mmm la f(t) que yo encontre estaria mal? o es otra forma de hacerlo?

[arivasm]

Re: grafico rampa

La verdad es que ni la miré, pues me pareció "matar moscas a cañonazos". Por otra parte, ahora que la miro, me parece que es incorrecta. En todo caso será una función definida a trozos, de esta manera: para t<1 es $2u(t)$; para t>1 es $(t-3)\cdot u(3-t)$

- - - Actualizado - - -

También aquí me he dado cuenta de que podemos obtener una expresión para f(t) sencilla. Como la parte triangular sería $(t-3)[u(t-1)-u(t-3)]$ y la otra es $2-2u(t-1)$, entonces es $f(t)=2-2u(t-1)+(t-3)[u(t-1)-u(t-3)]$. Otra alternativa es usar las rampas unitarias, que, sinceramente, no conocía, pero acabo de verlas. Por tanto, tu respuesta era correcta!

[LauraLopez]

Re: grafico rampa

Bueno entonces la f(t) que encontre es correcta no? Ahora cual es el sigiente paso para resolver el ejercicio? debo encontrar la transformada de cada termino no? o sea seria :

$\dst f(t) = 2 u(t) - 2 u(t-1) - 2 r(t-1) + 2r(t-3)$

$\dst F(s) = \int_0^\infty (2 u(t) - 2 u(t-1) - 2 r(t-1) + 2r(t-3)) {e}^{-st } dt$ $= \int_0^\infty 2 u(t) {e}^{-st } dt -\int_0^\infty 2 u(t-1) {e}^{-st } dt - \int_0^\infty 2 r(t-1) {e}^{-st } dt + \int_0^\infty 2 r(t-3) {e}^{-st } dt$

Entonces debo encontrar cada una de manera individual y ademas la region de convergencia de cada una no?

Seria :

$\dst F_1(s) = \int_0^\infty 2 u(t) {e}^{-st } dt = 2 \int_0^\infty 1 {e}^{-st } dt = - 2\frac{{e}^{-st }}{s } = \frac{2}{s }$ para esta cual es el intervalo de convergencia y porque?

$\dst F_2(s)= \int_0^\infty -2 u(t-1) {e}^{-st } dt = -2 \int_1^\infty {e}^{-st }dt = \frac{2{e}^{-s }}{s }$ aca me ocurre lo mismo nose como encontrar el intervalo de convergencia..

$\dst F_3(s)= \int_0^\infty -2 r(t-1) {e}^{-st } dt = - 2\int_1^\infty t {e}^{-st }dt$ y aca se me complica un poco con la integral, hay alguna forma de resolverla sin tener que realizar la integra por partes? o sea usando algunas propiedades de Laplace o algo asi mas sencillo?

PD: agrege un factor 2 que me habia olvidado de copiar

[arivasm]

Re: grafico rampa

La región de convergencia de las dos primeras es, si no me equivoco s>0 (y también lo será para la tercera). La tercera integral la puedes hacer por partes. Creo que el resultado es $\dst\frac{s+1}{s^2}\ee^{-s}$

[LauraLopez]

Re: grafico rampa

como sabes que la region de convergencia sera esa? no comprendo cual es la metodologia que se sigue para encontrar las regiones de convergencia.....

Igualmente esto de hacer la integral me parece que complica las cosas, no seria mas facil obtener la transformada de cada termino aplicando propiedades?

Seria :

$\dst f(t) = 2u(t) - 2 u(t-1) -2 r (t-1) + 2 r(t-3)$

si entendi bien la propiedad que me explicaste seria asi : por ejemplo para el termino 3 tengo :

Lei que r(t) = t u(t) asi que :

$\dst L(2 r(t-1)) = L (2 t u(t-1)) = \frac{2}{{s}^{2 } } {e}^{-s }$

como ves este termino no me coincide con tu resultado de hacer la integral por partes ( que yo la hice y llego a lo mismo que vos) porque no dan lo mismo? aplique mal la propiedad aca?

[arivasm]

Re: grafico rampa

Ya sé qué hemos hecho mal: r(t-1) no es t, sino t-1. Por tanto, haciendo la integral sería $\dst F_3(s)=\int_1^\infty (t-1)\ee^{-st}\dd t=\ee^{-s}/s^2$

[LauraLopez]

Re: grafico rampa

esta bien entonces es mas facil resolverla asi aplicando esa propiedad, pero me sigue faltando saber cual es la region de convergencia y porque....

[arivasm]

Re: grafico rampa

s>0. Para $s\leq 0$ el integrando se dispararía a infinito si $t\to\infty$.

[LauraLopez]

Re: grafico rampa

que integrando? pasa que yo la estoy resolviendo como en mi post 7 donde no resuelvo NINGUNA integral...solamente uso propiedades y tablas...si lo resuelvo asi como logro encontrar la region de convergencia? En varios hilos vengo con la misma duda capaz no la estoy explicando bien o no estoy entendiendo como es la metodologia a seguir para encontrar una region de convergencia resolviendo el ejercicio previamente solamente usando tablas y propiedades ( SIN integrar ) como hago en la mayoria.

[arivasm]

Re: grafico rampa

El que no resuelvas las integrales y recurras a las tablas no significa que no estén presentes las integrales. La única forma de ver claramente las regiones de convergencia es pensar en la integral. Eso no es lo mismo que tener que realizarla.