Otras carreras regiosn de convergencia

[LauraLopez]

Determine F(s) y la region de convergencia

El grafico muestra en el eje vertical un 1 y en el eje horizontal un 2, la fuencion cuadratica que aparece es $\dst {e}^{- (t -2) }$ parta t>2

Bueno primero debo encontrar la f(t) para mi la f(t) es :

$\dst f(t) = u(t) - u(t-2) + {e}^{-(t-2) } u(t-2)$

Esta bien la f(t) ? de ser asi el siguiente paso seria obtener la F(t) por partes... seria :

$\dst F(t) = \int_0^\infty u(t) {e}^{-st } dt - \int_0^\infty u(t-2) {e}^{-st } dt + \int_0^\infty u(t-2) {e}^{- (t-2) } {e}^{-st } dt$

Si es que hasta aca voy bien necesitaria ayuda para resolver la tercera integral y como obtener la region de convergencia de la misma

Gracias

[gdonoso94]

Re: regiosn de convergencia

Una pregunta, ¿esto en qué parte del electromagnetismo se ve? Me refiero, ¿para qué es útil?

Saludos

[LauraLopez]

Re: regiosn de convergencia

Hola, esto se ve en la parte de resolver circuitos,nose a que llegare luego de terminar con los capitulos jaja pero por lo que veo primero vi los fasores, y luego circuitos donde tienen fuentes y elementos complejos entonces utilizando la transformada de laplace creo que se va a llegar a que se puede trabajar en el domino s para resolver los circuitos de manera mas sencilla que en el dominio temporal. Mi practico comienza con ejercicios de este estilo y luego hay ejeercicios de circuitos donde se pide encontrar corrientes o hacer analisis nodal usando la transformada de Laplace y por lo visto supongo que esto facilitara la resolcucion de los sistemas de ecuaciones compardo con si se resolveria en dominio temporal. Igualmente esto es una intuicion mia por ahora ya que todavia no llegue a esos ultimos ejercicios del practico, cuando termine el capitulo te cuento que aprendi de util

[arivasm]

Re: regiosn de convergencia

Para la tercera integral puedes hacer uso de la propiedad de traslación (segunda propiedad de traslación, en la página 8 de este documento). Sobre su región de convergencia (siempre contesto esto con miedo) entiendo que es s>-1.

- - - Actualizado - - -

Sobre lo que pregunta gdonoso, la transformada de Laplace se usa para la resolución de ecuaciones diferenciales. Su aplicación a los circuitos es porque éstos vienen descritos por ecuaciones diferenciales. De todos modos, estos hilos quizá estarían mejor situados en Métodos matemáticos.

[LauraLopez]

Re: regiosn de convergencia

si hago eso que vos decis entonces no tengo que hacer la integral, o sea deberia retroceder lo que hice no? porque si aplico propiedades tengo que partir de la f(t) y no de donde yo deje el ejrecicio que es luego de aplicar la integral no?

Igualmente como sabes que la respuesta es s> -1 ? en el libro dice que la respuesta es Re (s) > -1 e insisto que no comprendo que metodologia seguis para lograr esa respuesta....

[arivasm]

Re: regiosn de convergencia

Lo que he visto en tu primer post es correcto. Sólo te falta hacer las integrales, o recurrir a las tablas.

Con respecto a lo de la parte real, se corresponde con manejar las transformadas de Laplace de manera que s pueda ser compleja. Las condiciones de convergencia de esta integral sólo afectan a la parte real pero no a la imaginaria.

El motivo es relativamente sencillo de ver: la parte imaginaria, como sabes, da lugar a senos y cosenos, que están acotados y entonces no tienen el problema de que puedan hacer que el integrando se dispare hacia el infinito, como sucede con la parte real. Es decir, si expresas s como $s=a+bi$ (permíteme que use $i$ para la unidad imaginaria en vez del horrible $j$ de los textos de electricidad), como $\ee^{-st}=\ee^{-(a+bi)t}=\ee^{-at}(\cos bt+i\sin bt)$ lo que puede hacer que el integrando se dispare al infinito es que lo haga $\ee^{-at}$, y eso sucederá si $a<0$.

Por tanto, el que debas responder "s>0" o "Re(s)>0" es cuestión de si debes manejar transformadas de Laplace reales o complejas. Ahora bien, la integración compleja es otro mundo, con sus propias y apasionantes reglas...

[LauraLopez]

Re: regiosn de convergencia

Te pregunto algunas dudas similares....

En mi resolucion del ejercicio no hice ninguna integral, por eso te decia eso de deshacer lo de mi primer post, porque recurrir a ese metodo me parece mas compicado.....

Yo lo resolvi asi :

$\dst f(t) = u(t) - u(t-2) + {e}^{-2t } u (t-2)$

Entonces simplemente aplico la transformada de esa f(t) ( sin usar Integrales , simplemente por tabla o usando propiedades ) y seria :

$\dst F(s) = \frac{1}{s } - \frac{{e}^{-2s }}{s } + \frac{{e}^{-2s }}{s+1 }$

Entonces mi pregunta es , esa respuesta es correta?

y la otra duda es cual es la region de convergencia? perdon que sea repetitiva pero no comprendo que metodologia seguir para encontrar la region de convergencia.... mas alla de usar Re(s) o s, mi pregunta es como sabes la respuesta es s> -1 ?

[gdonoso94]

Re: regiosn de convergencia

Perdón que me entrometa, no sé si lo que voy a decir tiene sentido en este tema, pero la región de convergencia, una vez que tienes la función se halla calculando los valores para los que se cumple la condición que te piden, ¿no? En este caso sería que $y\epsilon [0,1]$, por tanto, viendo las funciones que te resultan de hacer la transformada (repito, no tengo ni idea de esto, es pura intiución):

$\dst F(s) \quad \text{converge} \quad \forall s\epsilon[-1,\infty)-\{0\}$

¿Puede ser así?

Saludos.

[LauraLopez]

Re: regiosn de convergencia

se que la respuesta correcta es s> -1 como dice Arivasm que ademas coincide con la solucion que da mi libro, el tema que no se porque rayos esa es la respuesta

Asi que tu respuesta no seria correcta pero no sabria decirte bien el porque no lo es

[gdonoso94]

Re: regiosn de convergencia

Hmmm, esto definitivamente me supera :P , bueno, la intención es lo que cuenta, eso sí, si Arivasm puede explicarme por qué el 0 está incluido... Sería de agradecer .

Saludos!

[arivasm]

Re: regiosn de convergencia

$\dst f(t) = u(t) - u(t-2) + {e}^{-2t } u (t-2)$

Entonces simplemente aplico la transformada de esa f(t) ( sin usar Integrales , simplemente por tabla o usando propiedades ) y seria :

$\dst F(s) = \frac{1}{s } - \frac{{e}^{-2s }}{s } + \frac{{e}^{-2s }}{s+1 }$

A ver si no meto la pata. Tengo objeciones al tercer sumando. Como la transformada de $u(t-2)$ es $\dst\frac{\ee^{-2s}}{s}$ para la de $\ee^{-2t}u(t-2)$ podemos aplicar el primer teorema de traslación, que nos dice que $L[\ee^{at}f(t)](s)=L[f(t)](s-a)$, es decir, sería la transformada anterior, pero reemplazando s por s+2, y entonces sería $\dst\frac{\ee^{-2(s+2)}}{s+2}$

De todos modos, tengo la sensación, mirando apresuradamente el enunciado, que hay algunas cosas que podrían no estar bien. Prefiero revisarlo de nuevo en otro momento, pues ahora ya no tengo tiempo.

cual es la region de convergencia?

Con lo que has escrito tú, tendría que cumplirse que s>0 *y* s>-1, luego sería s>0. Por supuesto, con lo que puse yo sería también s>0 (porque debería cumplirse que s>0 y s>-2).

por qué el 0 está incluido...

No lo estaría, por lo que acabo de comentar.

- - - Actualizado - - -

Ya sé cuál es mi pega, el tercer sumando de la f(t) debería ser $\ee^{-(t-2)}u(t-2)$. Ahora mismo ya no tengo tiempo para más!

[gdonoso94]

Re: regiosn de convergencia

¿Y con lo que has puesto ahora mismo no podría ser s>-1 excluyendo el 0? Parece que así las 3 funciones convergen.

[LauraLopez]

Re: regiosn de convergencia

la f(t) tenes razon Arivasm copie mal ese tercer termino y es asi como vos decis ( en mi hoja lo tenia bien) y la F(s) a la que llego entonces es correcta y creo que coincidis. Ahora en cuanto a la region de convergencia tu respuesta cual es? s>0 o s>-1 como el libro?

Si como dije en otro post la "metodologia" es la que yo digo ( no estoy segura si la entendi bien ) para obtener la region de convergencia seria asi :

Tengo que obtener la region de convergencia de las 3 partes y luego intersectarlas, y cada una de ellas se obtiene observando la integral de la definicion de transformada de Laplace y observando los valores de s para los cuales el integrando no tienen a infinito asi que seria :

$\dst F_1 (s) = \int_0^\infty {e}^{-st } dt$ entonces Re(s) > 0

$\dst F_2 (s) = \int_2^\infty {e}^{-st } dt$ entonces Re(s) > 0

$\dst F_3 (s) = \int_2^\infty {e}^{- (t-2) }{e}^{-st } dt = {e}^{2 } \int_2^\infty {e}^{- (s+1) t } dt$ entonces Re(s) > -1

Finalmente hago la interseccion y la respuesta es Re(s) > 0

Esta bien la metodologia que use para resolverlo? esto es lo que pregunte mil veces y siempre me exprese mal y entonces no comprendia lo que me decian pero creo que finalmente ahi entendo el procedimiento si es que esto que hice es correcto. Mi respuesta no coincidiria con la del libro ....

[arivasm]

Re: regiosn de convergencia

La idea de la intersección de las regiones es muy obvia: imagínate que tienes que transformar una suma de funciones $F(s)=\int_0^\infty \ee^{-st}[f_1(t)+f_2(t)]\dd t =\int_0^\infty \ee^{-st}f_1(t)\dd t+\int_0^\infty \ee^{-st}f_2(t)\dd t$. Si, por ejemplo, la primera de las dos integrales finales es convergente si $s \in R_1$ y la segunda si $s \in R_2$ (las $R_i$ indican regiones -de la recta real o del plano complejo-) la integral original, que es la primera que escribí, requiere que *a la vez* sea $s \in R_1$ y $s \in R_2$ que es lo mismo que decir que $s \in R_1\cap R_2$.

[LauraLopez]

Re: regiosn de convergencia

Entonces la respuesta es Re (s)> 0 y el libro tiene un error entonces ya que da como respuesta Re(s) > -1