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Re: regiosn de convergencia
Tengo dudas: por una parte, entiendo que la f(t) que usaste, y que incluye en sus dos primeros términos las transformadas de las u(t) y u(t-2), no deja de ser un "truco".
Nada impediría hacer directamente la integral de la función a *dos* trozos, y entonces el tramo que va de 0 a 2 no tendría ningún problema de convergencia con s alguno. Es más, como se puede comprobar haciéndola directamente, su valor en realidad es si y si . Teniendo en cuenta que también por la regla de L'Hôpital este último valor es el límite de lo anterior, podríamos decir que la transformada del tramo plano es para todo s.
La integral que sí podrá ser divergente es la que corresponde al segundo tramo, el que tiene la exponencial. Ésa sí requiere que s>-1.
En resumen, nuestro análisis de que debería ser s>0 está condicionado por la f(t). Dicho de otra manera: si el ejercicio fuese, "determine la transformada de esta f(t)" me temo que la respuesta sería la que hemos dado, con región de convergencia s>0. Pero en realidad el ejercicio es otro: "determine la transformada de la función del gráfico", cuya f(t) no necesariamente es la que has escrito. Es más, en realidad es ésta:
y ésta, aunque tiene la misma transformada que la anterior, sí sólo tiene por región de convergencia s>-1.
Por tanto, tiene razón el libro y que nosotros estábamos equivocados.
Tengo dudas: por una parte, entiendo que la f(t) que usaste, y que incluye en sus dos primeros términos las transformadas de las u(t) y u(t-2), no deja de ser un "truco".
Nada impediría hacer directamente la integral de la función a *dos* trozos, y entonces el tramo que va de 0 a 2 no tendría ningún problema de convergencia con s alguno. Es más, como se puede comprobar haciéndola directamente, su valor en realidad es si y si . Teniendo en cuenta que también por la regla de L'Hôpital este último valor es el límite de lo anterior, podríamos decir que la transformada del tramo plano es para todo s.
La integral que sí podrá ser divergente es la que corresponde al segundo tramo, el que tiene la exponencial. Ésa sí requiere que s>-1.
En resumen, nuestro análisis de que debería ser s>0 está condicionado por la f(t). Dicho de otra manera: si el ejercicio fuese, "determine la transformada de esta f(t)" me temo que la respuesta sería la que hemos dado, con región de convergencia s>0. Pero en realidad el ejercicio es otro: "determine la transformada de la función del gráfico", cuya f(t) no necesariamente es la que has escrito. Es más, en realidad es ésta:
Por tanto, tiene razón el libro y que nosotros estábamos equivocados.
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