Otras carreras Laplace

[LauraLopez]

Hola quiero saber si hay alguna forma mas directa que no sea usando la definicion de integral de transformada para obtener por ejemplo la transformada de Laplace de u(t-2) o la de r(t-2) , porque por tablas estas transformadas no aparecen...

Gracias

[[Beto]]

Re: Laplace

Hola quiero saber si hay alguna forma mas directa que no sea usando la definicion de integral de transformada para obtener por ejemplo la transformada de Laplace de u(t-2) o la de r(t-2) , porque por tablas estas transformadas no aparecen...

Gracias

Puedes usar la formula general para deducir una formula para esas funciones, yo recuerdo que si hay una ... quizás estos apuntes te sirvan https://www.google.com.co/url?sa=t&r...48572450,d.eWU

[arivasm]

Re: Laplace

De todos modos, para ese tipo de transformadas se puede aplicar la propiedad de traslación (teorema 6.6 del documento que indica Beto), que es fácil de recordar pues consiste en aplicar un cambio de variable en la integral. Por ejemplo, para

$\dst F[(r(t-2)]=\int_0^\infty r(t-2)\ee^{-st}\dd t=\int_2^\infty r(t-2)\ee^{-st}\dd t$

si hacemos el cambio de variable $\tau=t-2$, la integral nos queda

$\dst F[(r(t-2)]=\int_{t=2}^\infty r(\tau)\ee^{-s(\tau+2)}\dd \tau=\ee^{-2s}\int_0^\infty r(\tau)\ee^{-s\tau}\dd \tau=\ee^{-2s}F[r(t)]=\ee^{-2s}\frac{1}{s^2}$

[LauraLopez]

Re: Laplace

creo que entendi la propiedad de traslacion pero de otra manera... por ejemplo como r(t) = t u(t) tengo que si :

f(t)= r(t-2) entonces f(t) = t u(t-2) y a esto le puedo aplicar la propiedad de traslacion y entonces tengo :

$\dst L (t u(t-2)) = {e}^{-2s } F (s) = \frac{1}{s^2 } {e}^{-2s }$

esta bien eso?

[arivasm]

Re: Laplace

como r(t) = t u(t) tengo que si :

f(t)= r(t-2) entonces f(t) = t u(t-2)

La función r(t-2) es una recta de pendiente unidad y con valor 0 en t=2 (y también para t<2). Por tanto, no es $t u(t-2)$, que sería una recta de pendiente unidad, pero que para t=2 valdía 2, en lugar de 0 (pues sería simplemente truncar r(t) quedándose con los valores desde 2 en adelante).

En definitiva, si $f(t)=r(t-2)$ entonces $f(t)=(t-2)u(t-2)$

[Breogan]

Re: Laplace

Hola:

Hay diversas propiedades que se pueden aplicar en cada caso.

creo que entendi la propiedad de traslacion pero de otra manera... por ejemplo como r(t) = t u(t) tengo que si :

f(t)= r(t-2) entonces f(t) = t u(t-2) y a esto le puedo aplicar la propiedad de traslacion y entonces tengo :

$\dst L (t u(t-2)) = {e}^{-2s } F (s) = \frac{1}{s^2 } {e}^{-2s }$

esta bien eso?

Por ejemplo para:

$f(t)=r\ (t-a)$

que como bien decis se puede escribir como:

$f(t)=t \ u(t-a)$

Lo anterior es incorrecto, correspondería:

$f(t)=(t-a)\ \ u(t-a)$

de aca en mas, aunque el procedimiento sea correcto, se llega a un resultado erroneo.


si no me equivoco hay una propiedad de la transformada de Laplace que dice (no se como se llama):

$\dst \mathcal{L} \left[t\ g(t) \right]=-\mathcal{L}'\left[g(t)\right]$

En nuestro caso seria:

$\dst \mathcal{L} \left[f(t) \right]=\mathcal{L} \left[t\ u(t-a) \right]=-\mathcal{L}'\left[u(t-a)\right]$

de esta ultima no conocemos $\dst \mathcal{L}'\left[u(t-a)\right]$, para hallarla aplicamos la propiedad del desplazamiento temporal que dice:

$\dst \mathcal{L} \left[g(t-a)\ u(t-a) \right]=\ee^{-as}\ \mathcal{L} \left[ g(t) \right]$

si aplicamos esto a nuestro caso tenemos:

$\dst \mathcal{L} \left[1\ u(t-a) \right]=\ee^{-as}\ \mathcal{L} \left[ 1 \right]$

y la transformada de una constante la sacamos de tabla:

$\dst \mathcal{L} \left[ 1 \right]=\frac 1 s$

por lo cual resulta:

$\dst \mathcal{L} \left[u(t-a) \right]=\ee^{-as}\ \frac 1 s$

esta ultima también figura en tabla, y llegamos al mismo resultado por otro lado.

Ahora tenemos que encontrar la derivada de esta ultima:

$\dst \mathcal{L}'\left[u(t-a)\right]=(-a)\ \ee^{-as}\ \frac 1 s + \ee^{-as}\ (-1)\ \frac 1 {s^2}$

$\dst \mathcal{L}'\left[u(t-a)\right]=- \ee^{-as} \left(a\ \frac 1 s +\frac 1 {s^2}\right)$

y la transformada de la ecuación original queda:

$\dst \mathcal{L} \left[r(t-a) \right]= \ee^{-as} \left(a\ \frac 1 s +\frac 1 {s^2}\right)$

Disculpa el choclo , pero trate de hacerlo paso a paso incluyendo todos los pasos (incluido alguno innecesario).

La transformada me dio distinto a la de ustedes, revise y no veo en que me equivoque. Agradeceria que lo revisen, mientras trato de realizarlo por medio de la definición. Gracias.

Suerte

[LauraLopez]

Re: Laplace

mmm creo que Arivasm me dice una cosa y Breogan otra, estoy confundida...

si $\dst f(t)= r(t-2)$ entonces no seria lo mismo que ?: $\dst f(t) = t u(t-2)$ Creo que Breogan me dijo eso que fue lo que yo puse antes.

Pero arivasm me dice que si $\dst f(t)= r(t-2)$ entonces no seria lo mismo que ?: $\dst f(t) = (t-2) u(t-2)$

Eso es lo que me dicen? o yo interprete mal a alguno de ustedes? cual es la respuesta correcta entonces?

[Breogan]

Re: Laplace

\iiintHola:

mmm creo que Arivasm me dice una cosa y Breogan otra, estoy confundida...

si $\dst f(t)= r(t-2)$ entonces no seria lo mismo que : $\dst f(t) = t u(t-2)$ Creo que Breogan me dijo eso que fue lo que yo puse antes.

Pero arivasm me dice que si $\dst f(t)= r(t-2)$ entonces no seria lo mismo que : $\dst f(t) = (t-2) u(t-2)$

Eso es lo que me dicen? o yo interprete mal a alguno de ustedes? cual es la respuesta correcta entonces?

La respuesta correcta es la que dice arivasm:

$f(t)=r(t-a)=(t-a)\ u(t-a)$

de ahi el error en el resultado del post anterior. El cual trato de corregir en este:

$\dst \mathcal {L} \left[ f(t) \right]=\mathcal {L} \left[ (t-a)\ u(t-a) \right]=\mathcal {L} \left[ t\ u(t-a)-a\ u(t-a) \right]=-\mathcal {L}' \left[ u(t-a) \right] -a \ \mathcal {L} \left[ u(t-a) \right]$

y sabemos que $\dst \mathcal {L} \left[ u(t-a) \right]=\ee^{-as} \frac 1 s$, y que $\dst \mathcal{L}'\left[u(t-a)\right]=- \ee^{-as} \left(a\ \frac 1 s +\frac 1 {s^2}\right)$, no lo vamos a demostrar nuevamente.

Por lo cual:

$\dst \mathcal {L} \left[ f(t) \right]=-\left[ - \ee^{-as} \left(a\ \frac 1 s +\frac 1 {s^2}\right) \right]-a\ \ee^{-as} \frac 1 s$

$\dst \mathcal {L} \left[ f(t) \right]= a\ \frac 1 s \ee^{-as}+\frac 1 {s^2}\ee^{-as}-a\ \ee^{-as} \frac 1 s$

y ahora la transformada me queda:

$\dst F(s)=\frac 1 {s^2}\ee^{-as}$


Suerte