Otras carreras integral de impulso

[LauraLopez]

Evalue $\dst \int_{- \infty}^{+\infty} {\delta}^{ 3} (t-1) f(t-2) dt$ donde $\dst f(t) = t^2 {e}^{-2t } u(t)$

A decir verdad no tengo idea de como resolverla....lo unico que se es que ese delta representa el impulso unitario

y el libro menciona una propiedad que se llma propiedad de la interal del uso unitario que es :

$\dst \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \delta (t- t_0) dt = f(t_0)$

Pasa que aca igualmente tengo esa funcion impulso con un numerito 3 arriba asi que nose si puedo aplicar esa propiedad de alguna forma....

Alguien sabe resolverlo?

gracias

[LauraLopez]

Re: integral de impulso

Actualizacion :

En el libro dice :

Propiedad de la integral del uso unitario :

La propiedad de integral demuestra que el efecto del impulso en la integral, es seleccionar el valor del resto del integrando en su punto singular con el valor de la integral.

Veamos ahora la siguiente funcion que se conoce como funcion derivada del impulso unitario $\dst {\delta}^{ '}(t)$

$\dst {\delta}^{ '}(t) = \frac{d \delta(t)}{ dt}$

$\dst \delta^{'} (t)$ tiene la propiedad de seleccion

$\dst \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) {\delta}^{ '} (t- t_0) dt = - f'(t_0)$

Del mismo modo en que el impulso unitario selecciona el valor de una funcion en su punto singular, su derivada selecciona la derivada en ese punto (multiplicada por -1)

Las funciones singulares de orden mayor restantes $\dst {\delta}^{(2) } (t) , {\delta}^{(3) } (t) , ... ,$ son cada una derivada de la anterior. Cada una tiene la propiedad de seleccion de la integracion del impuslso unitario, seleccionando los valores de las derivadas de orden mayor en el punto singular.

con esta informacion saben como resolverlo?

Como en mi ejercicio tengo la funcion impulso elevada al cubo creo que seria:

$\dst \int_{- \infty}^{+\infty} f(t) {\delta}^{(3) } (t-t_0) dt = - {f}^{ (3)} (t_0)$

Pero en mi ejercicio tengo una f(t-2) en la integral....alguna ayuda?

[arivasm]

Re: integral de impulso

La parte del f(t-2) no supone problema alguno, pues basta con hacer el cambio de variable t'=t-2 (con lo que dt'=dt) para que la integral original se convierta en $\dst \int_{- \infty}^{+\infty} {\delta}^{3} (t'+1) f(t') dt'$. De acuerdo con lo que dice tu libro (algo que, por cierto, desconocía) sería equivalente a tener que evaluar la tercera derivada, cambiada de signo, en t'=1 de f(t'). Es decir, la respuesta será simplemente $-f^{3)}(1)$. Si no me equivoco, el resultado es $-4\ee^{-2}$.

[LauraLopez]

Re: integral de impulso

mmm estoy confundida no comprendo bien..... cual es la f que tengo que derivar? Ademas al hacer ese cambio de variable no queda la f valuada en -1 ?en lugar de en 1?

o sea no seria :

$\dst \int_{-\infty}^{+\infty} f(t') {\delta}^{(3) } (t'+1) dt ' = - {f}^{(3) } (-1)$ ?

y no me doy cuenta cua es esa f que debo derivar....
seria :

$\dst f(t') = {t '}^{2 } {e}^{-2t ' } u(t')$ ( si uso esta debo reemplazar t' por t-2 en algun momento ? o seria:

$\dst f(t-2) = {(t -2)}^{2 } {e}^{-2(t-2) } u(t-2)$ o seria :

$\dst f(t) = {t}^{2 } {e}^{-2t } u(t)$

Como sabes cual es la f que tengo que derivar 3 veces?

Tengo que hacer las3 derivadas y luego reemplazar t por el valorde t_0 ? o voy reemplazando a medida que derivo?

Por ejemplo sila f(t) a usar es :

$\dst f(t') = {t '}^{2 } {e}^{-2t' } u(t')$ que creo que es esta la f(t) que debo derivar, si hago la primera derivada obtengo :

$\dst \frac{d f(t')}{dt } = {e}^{-2 t' } t' (t \delta (t') - 2 (t'-1) u (t') )$

ya derivar eso 2 veces mas se ve muy dificil de hacer... eso tengo que hacer? o la f(t) a derivar es otra?

por ejemplo ya no se cual es la derivada de $\delta (t')$

[arivasm]

Re: integral de impulso

Tienes razón en que, tal como me expresé antes, habría que evaluar la derivada en -1 y no en 1.

Quizá convenga volver al principio. De acuerdo con el enunciado hay que hacer la siguiente integral:

$\dst \int_{- \infty}^{+\infty} {\delta}^{ 3} (t-1) (t-2)^2 \ee^{-2(t-2)} u(t-2) \dd t$.

La estrategia que te propuse era para no tener que manejar la u(t-2), pero quizá no sea necesario. Podemos tirar directamente de lo que has puesto en el post #2 y aplicar que se trata de calcular la tercera derivada, cambiada de signo, evaluada en t=1 de la función $(t-2)^2 \ee^{-2(t-2)} u(t-2)$. Ahora bien, como en dicho valor es una función constantemente nula, entiendo que el resultado debería ser 0 .

[LauraLopez]

Re: integral de impulso

lo que sigo sin entender es cual es la f que debo derivar... en mi post anterior puse varios opciones porque no me doy cuenta cual es la f que tengo que derivar.... e insisto en que es muuuy difcil hacer la derivada tercera de casi cualquiera de ellas y hasta aparece la funcion impulso para derivar.....como estas haciendo para saber el resultado sin hacer los calculos? no hay que hacer las 3 derivadas? que f estas usando?

Ese cambio de variables y eso de t' hay que hacerlo o no? me confundi un poco.... yo creo que si no? para llevar la integral del enunciado a la forma que propone ese teorema donde tiene que haber una f(t) y NO una f(t-2) como aparece en la formula no?

[arivasm]

Re: integral de impulso

La que vaya en el integrando y que sea diferente de la delta. Con respecto al 0 entiendo que cualquier función multiplicada por u(t-2) será lo mismo que f(t)=0 para t<2, e igual a ella misma a partir de t=2. Como aquí hablamos de t=1, será como encontrar la tercera derivada de f(t)=0.

[LauraLopez]

Re: integral de impulso

mmm pero la del enunciado decis? esa es una f(t-2) y eso no respeta el teorema donde dice que debe ir una f(t) dentro de la integral o no? eso del cambio de variable con t' hay que hacerlo?



$\dst \int_{-\infty}^{+\infty} f(t') {\delta}^{ 3} (t'+1) dt = - {f}^{(3) } (-1)$

y $\dst f(t') = {t'}^{2 } {e}^{-2 t' } u (t')$

no es esa la integral a usar y la f(t) que debo derivar 3 veces?

No se si te entendi , pero para mi hay que hacerlo asi como me habias explicado inicialmente haciendo ese cambio de variable de t'.. me parece que ahora me queres decirque no hay que hacer ese cambio de variable...pero yo creo que si para que quede la integral de la forma que puse recien, si uso esa integral y esa f(t) esta bien? mi pregunta es como hacer para derivar 3 veces esa f(t') porque parece complicado poder hacer 3 derivadas.... y despues tambien sigo confundida si tengo que valuarla en 1 o en -1

[arivasm]

Re: integral de impulso

Al hacer el cambio de variable t'=t-2 lo único que estamos haciendo es mover el eje X. Por eso da lo mismo hacer la substitución de t por t-2, como dice el enunciado y tratar de encontrar la derivada en t=1, que hacer t'=t-2, manejar directamente la función f(t) y tratar de encontrar la derivada en -1. Pero cualquiera de los dos caminos deberían ser válidos. Por tanto, no es imprescindible recurrir al cambio de variable.

Lo que yo te proponía era que puesto que el enunciado habla de t-2 hacer la substitución de t por t-2, exactamente igual que si nos dijesen f(3) pondríamos un 3 donde pone t, o si pusiese f(3x) pondríamos 3x donde ponga t.

Si recurrimos al cambio de variable tendríamos la integral que has puesto (pero con dt' -ten en cuenta que dt'=dt-) y habría que derivar la f que pones. Ten en cuenta que tanto da escribir $\dst \int_{-\infty}^{+\infty} f(t') {\delta}^{ 3} (t'+1) dt' = - {f}^{(3) } (-1)$, como $\dst \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) {\delta}^{ 3} (t+1) dt = - {f}^{(3) } (-1)$, como $\dst \int_{-\infty}^{+\infty} f(q) {\delta}^{ 3} (q+1) dq = - {f}^{(3) } (-1)$.

Para la derivada de $\dst f(t) = t^2 \ee^{-2 t } u (t)$ debemos tener claro que se trata de una función definida a trozos, que es 0 si t<0 y $\dst f(t) = t^2 \ee^{-2 t }$ si t>0.

Como en la integral aparece $\delta^{3}(t+1)$, por lo que has escrito en el post#2 aquí sería $t_0=-1$, con lo que la derivada de la función anterior hay que evaluarla en un t<0. Como para ese rango la función es una constante (0), sus derivadas serán 0.

[LauraLopez]

Re: integral de impulso

ahhhh ahi comprendi lo que me querias decir! tenes razon , gracias!