Otras carreras Fracciones parciales

[LauraLopez]

Encuentre la transformada inversa de Laplace de la sieguiente expresion :

$\dst L \left( \frac{100}{(s+2) (s^2 + 2s + 5)^2 } \right)$


Lo que hice fue :

$\dst F(s) = \frac{100}{(s +2) (s^2 + 2s + 5)^2 } = \frac{A}{s+2 } + \frac{Bs + C}{(s^2 + 2s + 5)^2 } + \frac{Ds + E}{s^2 + 2s + 5 }$

Entonces

$\dst 100 = A (s^2 + 2s + 5)^2 + (Bs + C) (s+2) + (Ds + E) (s+2) (s^2 + 2s + 5)$

Estoy haciendo bien?

Luego nose como continuar para resolverlo

Gracias

[[Beto]]

Re: Fracciones parciales

Asignale valores a s, por ejemplo s=0, s=1 ... hasta formar un sistema de 5 ecuaciones que puedas resolver, la idea es asignar valores sencillos a s.

[arivasm]

Re: Fracciones parciales

Otra alternativa sería desarrollar completamente el lado derecho e igualar los coeficientes a ambos lados de los exponentes de s. De todos modos, en un caso tan largo como éste seguro que es más rápido el procedimiento que indica Beto.

[LauraLopez]

Re: Fracciones parciales

Lo que hice hasta ahi esta bien? No encuentran errores en lo que puse? Esa descomposicion en fracciones parciales sera correcta? no logro llegar a la solucion del libro, haciendo lo que dice Beto llego a :

A= 4 , B= -20 , C = 0, D = -4 , E= 0

use s= -2 , s= 0 ,s=1 , s=-1 ,s=2

Entonces seria :

$\dst F(s) = \frac{4}{s+2 } -20 \frac{s}{\left[ (s+1)^2 + 4\right]^2 }-4 \frac{s}{(s+1)^2 + 4 }$

Creo que hasta aca debe haber varios errores y no se cuales son....
Ademas por ejemplo mi segundo termino no se como hacer su transformada...

La respuesta que da el libro es : $\dst 4 {e}^{-2t } + {e}^{-t } \left( -4 \cos2t + \frac{13}{4 } \sin 2t - 5 \sin 2t - \frac{5}{2 } \cos 2t\right)$

Veo imposible con mi resultado parcial llegar a eso....

[arivasm]

Re: Fracciones parciales

Aunque $s=-2$ podría ser fuente de problemas, pues es una raíz en el denominador, confirmo los valores: con el procedimiento de la expansión que señalé antes, encuentro este sistema de ecuaciones

$\left.\begin{array}{r}A+D=0 \\ 4A+4D+E=0 \\ 14A+B+9D+4E=0 \\ 20A+2B+C+10D+9E=0 \\ 25A+2C+10E=100 \end{array}\right\}$

cuya solución es $A=4$, $B=-20$, $C=0$, $D=-4$ y $E=0$.

De la respuesta del libro me resulta chocante que no agrupen términos. Así, $\dst -4 \cos2t + \frac{13}{4 } \sin 2t - 5 \sin 2t - \frac{5}{2 } \cos 2t=-\frac{13}{2} \cos2t - \frac{17}{4 } \sin 2t$

[LauraLopez]

Re: Fracciones parciales

entonces como lo resuelvo? lo que hice esta bien decis? nose como resolver la F(s) que me quedo y llegar a la solucion que plantea el libro, seguro que no tengo errores? no es imposible con mi F(s) llegar a la respuesta del libro? tiene muchos terminos y mi F(s)solo 3 por ende voy a tener 3 terminos como respuesta no mas

[arivasm]

Re: Fracciones parciales

Estoy viendo que puesto que aparecen transformadas de senos y de cosenos (y sus derivadas, por eso la solución no las agrupa, para que se vea su origen), como que en los denominadores no está s, sino s+1, al hacer la descomposición en fracciones, también interesaría que en los numeradores estuviese s+1. Por tanto, convendría manejar la descomposición de esta manera:
$\dst F(s) = \frac{100}{(s +2) (s^2 + 2s + 5)^2 } =\frac{100}{(s +2) [(s+1)^2 + 4]^2 }=$$\dst \frac{A}{s+2} + \frac{B(s+1) + C}{[(s+1)^2 + 4]^2 } + \frac{D(s+1) + E}{(s+1)^2 + 4}$
Por cierto, está claro que la mejor forma de encontrar los coeficientes es la que ha escrito Beto.

[LauraLopez]

Re: Fracciones parciales

mmm no conocia esa forma de resolvero,igualmente sigo sin lograr llegar a la respuesta del ejercicio y sigo sin saber como realizar la transformada de el termino que tiene el denominador elevado al cuadrado....alguna ayuda?

Usando lo que decis vos tendria esta ecuacion:

$\dst 100 = A \left[ (s+1)^2 +4\right]^2 + \left( B (s+1) + C\right) (s+2) + \left( D (s+1) + E\right)(s+2) \left((s+1)^2 +4 \right)$

Esta bien la ecuacion esa?

Luego dandole valores a s llego a :

A=4 , B=-20 ; C=20 ; D=-4 ; E=4

Asi que tengo :

$\dst F(s)= 4 \frac{1}{s+2 } - 20 \frac{(s+1)}{\left[ (s+1)^2 + 4\right]^2 } + 20 \frac{1}{(s+1)^2 + 4 } - 4 \frac{(s+1)}{(s+1)^2 +4} + 4 \frac{1}{(s+1)^2 + 4 }$

Encontras errores? nose como hacer la transformada de todo esto encaso de que este bien , aunque lo dudo mucho, en especial el segundo termino.....

[arivasm]

Re: Fracciones parciales

Confirmo los coeficientes. La transformada inversa de la primera es directa: $4\ee^{-2t}$. Para las demás se puede aplicar el desplazamiento en el tiempo: $L[\ee^{-at}f(t)](s)=L[f(t)(s+a)]$, con lo que en nuestro caso los cuatro últimos sumandos serían $\ee^{-t}$ por las transformadas inversas de $\dst- 20 \frac{s}{\left(s^2 + 4\right)^2 }$, $\dst 20 \frac{1}{\left(s^2 + 4\right)^2 }$, $\dst - 4 \frac{s}{s^2 +4}$ y $\dst 4 \frac{1}{s^2 + 4 }$. Las tres últimas son inmediatas.

La primera hay que convertirla en la derivada de una F(s) y aplicar la propiedad que relaciona la derivada de la transformada con las multiplicaciones por las potencias de t.

De todos modos, veo que no se llega a la solución que has escrito, al menos porque en ella no veo un producto $t\sin2t$.

- - - Actualizado - - -

Acabo de fijarme que en el tercer sumando falta el cuadrado del denominador, tanto en tu post como en este último mío (acabo de corregirlo).

[LauraLopez]

Re: Fracciones parciales

Crees que la solucion del libro no es correcta entonces? Sigo sin darme cuenta como resolver las transformadas ....

Esta F(s) tiene errores? ademas del cuadrado que falta en el tercer termino?




El segundo termino sigo sin entender como se hace para resolverlo.....

Esa expresion creo que se puede reescribir asi :

$\dst F(s) = 4 \frac{1}{s + 2 } - 20 \frac{ (s+1)}{\left[ (s+1)^2 + 4\right] ^2} + 10 \frac{2}{[(s+1)^2 + 2^2]^2 } - 4 \frac{(s+1)}{(s+1)^2 + 2^2 } + 2 \frac{2}{(s+1)^2 + 2^2 }$

De esa manera puedo resolver todos los terminos por tabla , a excepcion del segundo y tercer termino que tiene el denominador al cuadrado y no te entendi como haces para resolverlo, e igualmente me resultado no va quedando igual a la respuesta que da el libro....

Esos 5 terminos crees que son correctos?

SOlamente se transformar algunos de ellos , me da :

1) $\dst 4 {e}^{-2t }$

2) No se como se hace

3) No se como se hace

4) $\dst -4 {e}^{-t } \cos 2 t$

5) $\dst 2 {e}^{-t } \sin 2t$

Los terminos (1) , (4) y (5) estan bien? como se resuleve el termino (2) y (3) ???? y me sigo preguntando porque nos da tan distinto a la solucion del libro...

[Al2000]

Re: Fracciones parciales

Crees que la solucion del libro no es correcta entonces?...

Al menos lo que tu tipeaste como solución no es correcto. Tu tipeaste:

...
La respuesta que da el libro es : $\dst 4 {e}^{-2t } + {e}^{-t } \left( -4 \cos2t + \frac{13}{4 } \sin 2t - 5 \sin 2t - \frac{5}{2 } \cos 2t\right)$
...

La solución que me da mi software es:

$\dst 4 {e}^{-2t } + {e}^{-t } \left( -4 \cos2t + \frac{13}{4 } \sin 2t - 5 t \sin 2t - \frac{5}{2 } t \cos 2t\right)$

Sospecho que te comiste las "tes" cuando tipeaste la solución.

Saludos,

Al

[LauraLopez]

Re: Fracciones parciales

Ahora que miro de nuevo la solucion de mi libro el termino del 5/2 si tiene una t , pero el otro termino NO....y bueno nose como rayos llegar a esa solucion

[arivasm]

Re: Fracciones parciales

Quizá alguien con más conocimientos que yo pueda aportar un camino más claro...

Una posible idea para los términos segundo y tercero, que tienen los cuadrados en el denominador es tomar en consideración que pueden ser derivadas de transformadas conocidas, y entonces aplicar el teorema que nos dice que si multiplicamos por t una función f(t) entonces la transformada es la derivada, cambiada de signo, de la transformada de f(t).

La razón por la que se me ocurre esto es porque al derivar una expresión que tenga algo en el denominador nos aparecerá el cuadrado del denominador. Por eso "me huele" a derivada.

En tu caso, como tú misma has hecho, voy a usar el teorema de desplazamiento, de manera que reconozcamos el s+1 como debido a un producto por $\ee^{-t}$ y entonces preocuparnos de $\dst \dst \frac{20}{\left(s^2 + 4\right)^2 }$ y $\dst\frac{-20 s}{\left(s^2 + 4\right)^2 }$.

Por supuesto, la manera más directa de ver de qué es derivada sería hacer su integral, pero te propongo otra vía más simple: comparar.

Como la transformada de $\sin kt$ y $\cos kt$ es, respectivamente, $\dst\frac{k}{s^2+k^2}$ y $\dst\frac{s}{s^2+k^2}$ tenemos que las transformadas de $t\sin kt$ y $t\cos kt$ serán, respectivamente, tras derivar las transformadas anteriores respecto de s y cambiar el signo, $\dst\frac{2ks}{(s^2+k^2)^2}$ y $\dst\frac{k^2-s^2}{(s^2+k^2)^2}$.

Si te fijas, la última es la que da la lata debido al $s^2$ en el numerador. ¿Cómo nos podemos deshacer de él? Pues metiendo en danza una transformada de seno, haciendo uso de la idea de que cuando se suman dos fracciones, una con cierto denominador y la otra el cuadrado, el resultado también tiene el denominador al cuadrado. Es decir, la intención es transformar la última que escribí en algo como esto:

$\dst\frac{k^2-s^2}{(s^2+k^2)^2}=\frac{P}{(s^2+k^2)^2}+\frac{Q}{s^2+k^2}=\frac{P+Qk^2+Qs^2}{(s^2+k^2)^2}$

Comparando vemos que $Q=-1$ y $P=2k^2$, es decir, la transformada de $t\cos kt$ es lo mismo que

$\dst\frac{k^2-s^2}{(s^2+k^2)^2}=\frac{2k^2}{(s^2+k^2)^2}-\frac{1}{s^2+k^2}$

que mejor lo escribimos así:

$\dst\frac{2k^2}{(s^2+k^2)^2}=\frac{k^2-s^2}{(s^2+k^2)^2}+\frac{1}{s^2+k^2}=L^{-1}(t\cos kt)+L^{-1}(\sin kt)$

Si comparamos con lo que tienes tú, en el segundo término nos aparece $\dst -20\frac{s}{s^2+4}$, donde reconocemos con cierta facilidad la transformada de $t\sin 2t$, que sería, según vimos $\dst \frac{4s}{(s^2+4)^2}$ multiplicada por -5. Por tanto, el segundo término es la transformada de $-5t\sin 2t$.

Comparando con el tercero, $\dst 20\frac{1}{(s^2+4)^2}$ vemos que como es k=2, nos interesa escribirlo como $\dst \frac{20}{8}\,\frac{8}{(s^2+4)^2}=\frac{5}{2}\left[\frac{4-s^2}{(s^2+4)^2}+\frac{1}{s^2+4}\right]$, donde reconocemos que se trata de la transformada de $\dst \frac{5}{2}\left(t\cos 2t+\sin 2t\right)$.

El resto sólo debería ser operar.

[LauraLopez]

Re: Fracciones parciales

que dificil.......... a decir verdad en una primera leida no entendi mucho, me perdi con varias de las cuentas que haces, pero bueno si nadie propone una idea mas sencilla mañana lo vuelvo a leer y te voy preguntando mas detalladamente las partes que no comprendo como las hiciste o como te diste cuenta de hacer eso

[Al2000]

Re: Fracciones parciales

En las tablas de Murray Spiegel aparece que la trasformada inversa de $\dst \frac 1 {(s^2 + a^2)^2}$ es $\dst \frac {\, \mathrm {sen} \, a t - a t \cos a t}{2 a^3}$.