Otras carreras transformada de expresion

[LauraLopez]

Usando las transformadas de Laplace , resuelta la sieguiente expresion :

$\dst x'' + 4 x' + 3x = 4 \sin t+ 8 \cos t$

con x(0)=3 y x'(0)= -1

Lo que hago es aplicar la transformada en cada miembro usando la propiedad de la derivada y obtengo :

$\dst s^2 X (s) - s (3) + 1 + 4 \left[ s X(s) - 3\right] + 3 X(s) = \frac{4}{s^2 + 1 } + \frac{8 s}{s^2 + 1 }$

$\dst X(s) \left[ s^2+ 4s + 3\right] = \frac{4 + 8s}{s^2 + 1 } + 3s + 11$

Encuentran errores? no confio en mi resultado.... si sigo operando llego a :

$\dst X(s) = \frac{(3 s^3 + 11 s^2 + 11 s + 15) (s^2 + 4s + 3)}{s^2 + 1 }$

Dudo mucho que hasta aca tenga bien y ademas no se como continuar

El libro dice que la solucion es : $\dst 3 {e}^{-t } + 2 \sin t$ no veo como llegar a algo tan slimple...

Gracias

[Al2000]

Re: transformada de expresion

Un "tip": al buscar transformadas inversas es preferible mantener los términos factorizados. En ese sentido, nota que $s^2 + 4s + 3 = (s +1)(s+3)$. Apartando eso, pusiste incorrectamente el factor anterior en el numerador del miembro derecho.

Saludos,

Al

[LauraLopez]

Re: transformada de expresion

si tenes razon ese miembro va en el denominador,igualmente no logro llegar al resultado que propone el libro, el otro termino que tengo en el numerador esta bien?M


Me quedaria asi :

$\dst X (s) = \frac{(3 s^3 + 11 s^2 + 11 s + 15)}{(s^2 + 1) (s+1) (s +3) } = \frac{As+B}{s^2 +1 } + \frac{C}{s+1 } + \frac{D}{s+3 }$

que estoy haciendo mal?

[Al2000]

Re: transformada de expresion

Antes de hacer las fracciones parciales, puedes factorizar el polinomio de grado 3: $3 s^3 + 11 s^2 + 11 s + 15 = (s+3)(3 s^2 + 2 s + 5)$

[LauraLopez]

Re: transformada de expresion

mmm eso es opcional o es parte del proceso obligatorio para resolver el ejercicio? porque sin hacerlo no llego a la respuesta, y si lo hago si llego a la respuesta... pareciera que es obligacion hacer eso no?

[Al2000]

Re: transformada de expresion

Bueno, no es imprescindible factorizar el numerador y cancelar el factor (s+3). Si lo haces como lo tienes planteado obtendrás que D = 0.

Saludos,

Al