1r ciclo Confución con vector gradiente

[leo_ro]

Dada la función $z=5x+4y$ (plano). Sus derivadas parciales son:

$\frac{\partial z}{\partial x}=5$ y $\frac{\partial z}{\partial y}=4$

Por lo que: $\nabla z = 5\hat{i} + 4\hat{j}$

Si grafico en el plano 4 curvas de nivel.

$k=0 , y= -\frac{5}{ 4}x$
$k=1 , y= \frac{1}{4 }-\frac{5}{ 4}x$
$k=2 , y= \frac{1}{2 }-\frac{5}{ 4}x$
$k=3 , y=\frac{3}{4 } -\frac{5}{ 4}x$

Si grafico estas curvas y al vector gradiente, en forma de recta pero cuya dirección será la del gradiente. Dicha recta tiene la forma de $y=4/5x$


Como se puede observar a simple vista, la recta que corta las curvas de nivel no tiene la dirección de máximo crecimiento, es decir, la más corta entre dos curvas. Tendría que ser como la grafico ahora en negro.



¿Qué estoy haciendo mal en el cálculo del vector gradiente?

Saludos.

[Al2000]

Re: Confución con vector gradiente

Las ecuaciones están bien... revisa lo que estás graficando, parece que estás graficando la recta $y = \frac 5 4 x$ en lugar de lo correcto, $y = \frac 4 5 x$.

Saludos,

Al

[leo_ro]

Re: Confución con vector gradiente

No entiendo por qué para un punto $({x}_{0},{y}_{0})$ sobre la superficie, la dirección de máximo crecimiento es un vector cuyas componentes son: ${f}_{x}$ en la dirección de $x$ y ${f}_{y}$ en la dirección de $y$. Si esas componentes son la variación de la función cuando le damos un incremento infinitesimal a una de las variables independientes y a la otra la dejamos constante. Pero la función varía desde ese punto en todas las direcciones. No entiendo o veo la correlación entre las derivadas parciales y con estas tener la dirección de máximo crecimiento.




El vector $\vec{x}=<1,1>$ y la función $f(x,y)={x}^{2}-{y}^{2}$. En donde $f(\vec{x})=0$.


${f}_{x}(x,y)$ nos dice cuanto es la razón de cambio de la función en la dirección de $\hat{i}$ en la cercanía de un pto. y ${f}_{y}(x,y)$ cuanto varía la función en la dirección de $\hat{j}$.


Si hacemos un vector cuyas componentes sean las derivadas parciales, su dirección nos da para donde está variando la función.


¿El vector gradiente fue definido de esa forma? ¿O se definió a partir de la derivada direccional? En donde si desarrollas el límite llegas al producto punto de un vector (que se llama gradiente) con el vector director.


Saludos.

[samblaster]

Re: Confución con vector gradiente

Hola leo_ro, el vector gradiente, por definición se compone de las derivadas parciales en cada dirección (derivadas direccionales) de la función, y este nos indica la dirección de máxima variación (crecimiento o decrecimiento), entonces en el gradiente cuentan todas las direcciones, aunque este se componga de parciales, saludos.