Otras carreras Anti transformada

[LauraLopez]

Queria pedia ayuda con una antitransformada de Laplace, en un ejercicio llego a esta expresion que luego debo antitransformar y no se como hacerlo....

$\dst \frac{8 (s+1)}{(2 s^2 + 3 s + 4 ) ( (s+1)^2 + 1 )}$

Alguna ayuda?

Gracias

[gdonoso94]

Re: Anti transformada

$\dst \frac{8 (s+1)}{(2 s^2 + 3 s + 4 ) ( (s+1)^1 + 1 )}$

La parte del denominador de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es un poco extraña, ¿no crees? No sé como resolverlo pero eso me huele a errata de tipografía.

Un saludo.

[LauraLopez]

Re: Anti transformada

sii era un error ya lo corregi

[Breogan]

Re: Anti transformada

Hola:

No se si te voy a ayudar o la voy a complicar mas.
Ante mi desconocimiento se me ocurrió un camino para resolverla, aunque en principio sea valido no tengo ni idea si puede llevar a la solución.

Tenemos la ecuación transformada:

$\dst V_0 = \frac{8 (s+1)}{(2 s^2 + 3 s + 4 ) [(s+1)^2 + 1 ]}$

primero sacamos las raíces del 1º paréntesis del denominador, que dan:

$\dst s_{1,2} = \frac {-3 \pm \sqrt{-23}} 4$

por las dudas revisala a ver si me equivoque.

Para no arrastrar números difíciles de escribir en el resto de los calculos, voy a usar la siguiente notación:

$\dst s_{1,2} = -a\pm j b$

donde $a= 3/4$ y $\dst b= \frac {\sqrt{-23}} 4$

entonces el 1º parentesis del denominador de V_0 lo podemos escribir de la siguiente forma:

$\dst (2 s^2 + 3 s + 4 )= 2 [(s+a)^2+b^2]$

por lo cual nuestra V0 ahora la podemos escribir de la siguiente forma:

$\dst V_0 = \frac 4 { [(s+a)^2+b^2]} \frac{ (s+1)}{ [(s+1)^2 + 1 ]}$

si llamamos:

$\dst F(s)=\frac 4 { [(s+a)^2+b^2]}=\frac 4 b \frac b { [(s+a)^2+b^2]}$

y

$\dst G(s) = \frac{ (s+1)}{ [(s+1)^2 + 1 ]}$

resulta $V_0(s) = F(s) G(s)$

y anti-transformando F(s) y G(s) por separado, quedan:

$\dst f(t)= \frac 4 b \ \ee^{-at} sen (b t) \ u(t)$

y

$\dst g(t) = \ee^{-t} cos \ t \ u(t)$

por el teorema de la convolución tenemos que:

$\dst v_0(t) = \mathcal{L}^{-1}[V_0(s)]=\mathcal{L}^{-1}[F(s) G(s)]= f(t) *g(t) =g(t) * f(t)$

por lo tanto:

$\dst v_0(t) = \int_{- \infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau) \ d\tau = \int_{- \infty}^{\infty} g(\tau) f(t-\tau) \ d\tau$

reemplazando las f(t) y g(t) en la anterior:

$\dst v_0(t) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac 4 b \ \ee^{-a\tau} \ sen (b \tau) \ u(\tau) \ \ee^{-(t-\tau)} \ cos \ (t- \tau) \ u(t-\tau) \ d\tau$

Ahora queda ver si se puede resolver esta integral, en principio vamos a simplificarla un poco:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\dst v_0(t) = \frac 4 b \ \int_{0}^{\infty} \ \ee^{-[(a-1)\tau+t]} \ sen (b \tau) \ cos \ (t- \tau) \ u(t-\tau) \ d\tau$


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\dst v_0(t) = \frac 4 b \ \int_{0}^{t} \ \ee^{-[(a-1)\tau+t]} \ sen (b \tau) \ cos \ (t- \tau) \ d\tau$

Hasta acá llegue por hoy, hice la integral online y en principio da un choclo.

Si encontraste otra forma de hacerlo posteala, sino revisa lo que hice en el presente post para ver si esta bien. Yo también lo voy a revisar mañana, y seria genial que algún otro integrante del foro de su opinión.

Mañana la seguimos. Saludos

s.e.u.o.

Suerte

[LauraLopez]

Re: Anti transformada

No se si sera la forma mas facil de hacerlo pero creo que estas haciendo bien,por ahora voy entendiendo este metodo que planteas y no encuentro errores. Y en cuanto a la integral esa lo mejor es hacerla con un programa como decis sino es muuuuucho calculo para encima llegar a un choclaso como decis!

[arivasm]

Re: Anti transformada

Por tratar de ayudar, y con mucha pereza para intentar hacerlo... ¿Creéis que podría ser útil intentar aplicar algo como lo siguiente?
$\dst \frac 4 { [(s+a)^2+b^2]} \frac{ (s+1)}{ [(s+1)^2 + 1 ]}=\frac{A(s+a)+B}{(s+a)^2+b^2}+\frac{C(s+1)+D}{(s+1)^2 + 1}$

[LauraLopez]

Re: Anti transformada

Si creo que tambien eso seria util, pero como decis vos a mi tambien me esta ganando la pereza,mas aun cuando puse la transformada en wolfram y vi cual deberia ser el resultado......muuuuuuuuuuuuuuuy largo

[Breogan]

Re: Anti transformada

Hola:

Gracias arivasm por el aporte, aunque a fuerza de ser honesto me hubieras evitado meterme en una camisa de 11 varas si lo hubieras posteado antes.

Por tratar de ayudar, y con mucha pereza para intentar hacerlo... ¿Creéis que podría ser útil intentar aplicar algo como lo siguiente?
$\dst \frac 4 { [(s+a)^2+b^2]} \frac{ (s+1)}{ [(s+1)^2 + 1 ]}=\frac{A(s+a)+B}{(s+a)^2+b^2}+\frac{C(s+1)+D}{(s+1)^2 + 1}$

según lo que pude leer después de tu post esta sería la forma "correcta" de hacerlo, pero lo que puse en mi post no me parece incorrecto (salvo que algún forero diga lo contrario). Por esto (y por que soy cabezón) voy a intentar llegar a un resultado por este camino, y si alguno de ustedes lo hace por el camino sugerido por arivasm les pediría que posteen su resultado para comparar; ya que si ambos caminos son correctos el resultado deberia ser el mismo, no?.

Gracias

Suerte