1r ciclo Significado del rotacional como fuente vectorial.

[leo_ro]

Sea $\vec{F}(x,y,z)= {f}_{x}(x,y,z)\hat{\imath}+{f}_{y}(x,y,z)\hat{\jmath}+{f}_{z}(x,y,z)\hat{k}$

tal que $\frac{\partial \vec{F}(x,y,z)}{\partial x}\neq \frac{\partial \vec{F}(x,y,z)}{\partial y }$ , $\frac{\partial \vec{F}(x,y,z)}{\partial x}\neq \frac{\partial \vec{F}(x,y,z)}{\partial z }$ , $\frac{\partial \vec{F}(x,y,z)}{\partial y}\neq \frac{\partial \vec{F}(x,y,z)}{\partial z }$

$\nabla \times \vec{F}(x,y,z) = \vec{ J}$

En wikipedia dice que $\vec{ J}$ es fuente vectorial de $\vec{F}$. No entiendo por qué dice eso. ¿Simplemente por definición? Si me pudieran aclarar la idea se los agradecería ya que el rotacional es muy utilizado en los fenómenos físicos.

Si se dice que $\vec{J}$ "genera" a $\vec{F}$ ¿Por qué la fuente de $\vec{F}$ si es vectorial tiene que ser perpendicular a esta? ¿ Porque es algo que pasa en la naturaleza? por ejemplo con $\vec{B}$ y $\vec{E}$ tal que $\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$?

¿No es posible físicamente que un campo vectorial tenga como fuente un campo vectorial donde cada vector sea paralelo al vector de la fuente vectorial? Yo no veo ningún impedimento físico aunque no conosco ningún ejemplo en la naturaleza.

¿Para qué quiero saber eso? Pues para que cuando vea en alguna bibliografía el rotor de algún campo saber que lo que está en el otro miembro es la causa de ese campo. De manera de poder entender los textos del electromagnetismo y no quedarme solamente con las relaciones y operaciones cuantificables de las cosas.

[Rodri]

Re: Significado del rotacional como fuente vectorial.

La idea de campo "fuente" yo la entiendo del modo siguiente.

Supongamos un contorno cerrado C en el espacio tridimensional y una superficie finita S limitada por dicho contorno. Ahora imaginemos que definimos en todo el espacio un campo vectorial $\vec{J}$. Entonces existe otro campo vectorial $\vec{F}$ tal que su circulación a lo largo del contorno C es igual al flujo de $\vec{J}$ a través de la superficie S. En cierta forma es como si el flujo de $\vec{J}$ a través de S indujera el campo $\vec{F}$ en el contorno de dicha superficie.
Esta idea es una consecuencia directa del teorema de Stokes:

Dado un campo vectorial $\vec{A}$ continuo y derivable, una superficie S y su contorno C, se verifica

${\iint}_{S}\nabla \times \vec{A} \cdot \vec{d\sigma}$ = ${\oint}_{C}\vec{A}\cdot \vec{d\ell}$


Un ejemplo físico sería el fenómeno de inducción electromagnética en una espira: la variación temporal del flujo del campo magnético $\vec{B}$ a través de la espira induce un campo eléctrico a lo largo de la espira de tal forma que su circulación a lo largo de dicho contorno (que es el voltaje inducido) es igual a la integral de flujo del vector $\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ a través de la superficie de la espira. En definitiva, es como si el vector $\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ se comportase como la "fuente" del voltaje inducido en la espira, que es la circulación del vector campo eléctrico $E$ a lo largo de la espira. Matemáticamente esta idea se expresa mediante la ecuación $\nabla \times \vec{E}$ = -$\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ (el signo - se debe a la definición del sentido de los campos).

La perpendicularidad entre campos que comentas está asociada al hecho de que la componente del campo inducido que genera circulación no nula a lo largo de C es colineal con el contorno C (localmente), mientras que la componente del vector fuente que genera flujo no nulo a través de S es normal a cada elemento de S y por tanto a cada elemento de C cuando se toma en el contorno C de S.

[leo_ro]

Re: Significado del rotacional como fuente vectorial.

Gracias Rodri.

Entonces existe otro campo vectorial $\vec{F}$ tal que su circulación a lo largo del contorno C es igual al flujo de $\vec{J}$ a través de la superficie S. En cierta forma es como si el flujo de $\vec{J}$ a través de S indujera el campo $\vec{F}$ en el contorno de dicha superficie.

Pero de la misma manera ¿no se puede entender que la circulación de $\vec{F}$ genera el flujo de $\vec{J}$? Porque matematicamente se expresa como una igualdad la relación entre el flujo de un campo con la circulación del otro campo.

${\int }_{C} \vec{H} d l= {\int \int}_{S} \vec{J} dS$ (1)

Donde por la ley de Stokes, necesariamente $\nabla \times \vec{H} = \vec{J}$

Así que como fuente vectorial de $\vec{J}$ podría interpretarse que sea $\vec{H}$. Si en (1) hay una igualdad entre esas cantidades.

Pero en la definición del rotacional que está en wikipedia, http://es.wikipedia.org/wiki/Rotacional , en la sección de Fuente vectorial y escalar, especifica que el rotacional es la fuente vectorial y no el vector es la fuente del rotor.

Saludos.

[visitante20160513]

Re: Significado del rotacional como fuente vectorial.

Hoy en día se tiende a pensar que la carga eléctrica es la fuente del campo electromagnético, en cualquiera de sus estados dinámicos:

cargas en reposo: campo eléctrico.
cargas con velocidad constante: campo magnético.
cargas aceleradas: radiación electromagnética.

el hecho de considerar que J es la fuente de H parece ser consecuencia de esa forma de pensar. Desde un punto de vista matemático no sería posible analizar la causalidad de estos campos ya que la existencia de uno implica necesariamente la existencia del otro. Es por tanto un enfoque físico, pero tampoco es fácil decidir que fue antes si el huevo o la gallina. Es la carga la fuente del campo o es al revés. Ocurre algo similar con muchas otras magnitudes físicas, ¿porqué tendemos a pensar que las fuerzas son la causa de las aceleraciones?

Salu2