Secundaria Duda demostración fórmula del área del sector circular

[javirk]

Hola, como me aburro bastante en verano el otro día me dio por intentar demostrar la fórmula del área del sector circular mediante integrales. Primero lo intenté y pensé lo siguiente:

Queriendo sacar A (lo que tiene rayas negras), puedo hacer la integral definida de 0 hasta X de la función de la circunferencia (con centro en el origen) para hallar el área de A más la parte roja y después restarle el triángulo rojo. Al fin y al cabo la integral sería:

$\int_{0}^{x} \sqrt{R^{2}-X^{2}} dx$

¿Voy bien? ¿Es viable? Porque he buscado en Internet y lo único que encuentro es sacarlo con una integral doble o algo así, pero que no sé resolver. A parte, al resolver la integral por el método de ¿sustitución trigonométrica? (no lo conocía, lo he encontrado en Internet), el resultado es extraño...

Un saludo y gracias de antemano.

[sater]

Re: Duda demostración fórmula del área del sector circular

En mi opinión, viable sería. Como consejo para no liarte podrías cambiar la x por una a, me refiero al valor x=a donde se cortan. Otra opción podría ser hacer el área entre dos funciones, que es la integral desde un punto de corte al otro en valor absoluto de la resta de las funciones (que es lo mismo que tú pretendes hacer al restar el área del triángulo).
No es difícil encontrar la recta que pasa por su punto de corte, pues tienes que pasa por ese punto y por el eje de coordenadas. Si la función circulo la dejas como f(x) y la recta como g(x), sería la integral en valor absoluto desde el cero hasta el punto de corte de h(x)= f(x) - g(x), (da igual cual se reste pues para eso está el valor absoluto).
Otro consejo, las integrales del tipo $\sqrt{{a}^{2 }-b\cdot {x}^{2 }}$ se hacen con el cambio de variable $x= \frac{a}{b }\cdot \sin t$

[javirk]

Re: Duda demostración fórmula del área del sector circular

Hola, gracias por tu respuesta, lo de hacer el área entre dos funciones, al fin y al cabo sería lo mismo, y mi duda reside sobre todo en esa integral (en la de mi primer mensaje). He hecho el cambio que tú me has dicho y sí me ha salido algo, pero ahora tengo una duda con los límites de integración. Obviamente (creo) tengo que cambiarlos, por lo que suystituyo los valores de 0 y a (los límites de integración) por x en el cambio de variable, quedándose así los límites 0 y $arcsen(\frac{a}{R})$. La integral sin sustituir los límites de integración y haciendo el cambio $x=R\cdot sen(t)$ en la primitiva me da:

$$\int_{0}^{x} \sqrt{R^{2}-X^{2}} dx=\frac{R^{2}}{2}\cdot t-\left \frac{R^{2}cos(2t)}{2} \right |_0^{arcsen(\frac{a}{R})}$$

Y, si lo he hecho todo bien, ahora viene el problema, al sustituir los límites me queda (obviamente) $arcsen(\frac{a}{R})$ pero ¿qué pongo en la a? Es decir, tendría que poner como la proyección en el eje x del punto de la circunferencia donde se corta con la recta, ¿no? ¿Lo que he llamado en el dibujo como x? Y para la calculadora, ¿en radianes? ¿en grados? La verdad es que nunca había hecho algo así, de ahí toda esta cantidad de dudas...

Un saludo!