Secundaria Sobre limite

[juantv]

Buenas,


me confundo al intentar demostrar que :


$\lim_{x\to a} \, \, f(x) = \lim_{h\to 0} \, \, f(a + h)$


mi intento:


intento empezar suponiendo uno y llegar al otro, no se cual suponer primero mas convenientemente


si $\lim_{h\to 0} \, \, f(a + h) = L$ quiere decir que


$\forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \ \delta > 0 : 0<|h-0|=|h|<\delta \longrightarrow |f(a+h)-L|<\varepsilon$


y deberia llegar a que


$\forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \ \delta > 0 : 0<|x-a|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$


con lo cual demostraría $\lim_{x\to a} \, \, f(x) = L$ y finaliza.


pero no veo como de $|f(a+h)-L|$ llegar a $|f(x)-L|$ o viceversa


lo que se me ocurre es demostrando que $f(a+h)\leq{f(x)}$ o al contrario, pero no veo el como por esta opción.


por otra parte, si lo veo muy superficialmente la igualdad parece valida para algo así como una función continua (no se si lo que digo es correcto) pues seria


$\lim_{x\to a} \, \, f(x) = f(a)$


$\lim_{h\to 0} \, \, f(a + h) = f(a + 0) = f(a)$


con lo que $\lim_{x\to a} \, \, f(x) = \lim_{h\to 0} \, \, f(a + h)$


pero estaría restringiendo la situación (eso creo)


agradezco cualquier indicación a cerca de como demostrarlo





Agradezco su orientación al respecto

[Jose D. Escobedo]

Re: Sobre limite

Hola, juantv

Ya casi lo has resuelto. $\dst \forall \frac{\epsilon}{ 2}$, $\exists \delta$ tal que $|x-a|<\delta \Rightarrow$ $\dst |f(x)-L|<\frac{\epsilon}{ 2}$...(1). Si $|x-a|=|h|<\delta \Rightarrow$ $\dst |f(a+h)-L|<\frac{\epsilon}{2 }$...(2)
Sumando (1) y (2) aplicando la desigualdad triangular y la igualdad $|x|=|-x|$
se tiene que: $|f(x)-f(a+h)|<\epsilon \Rightarrow$....

Saludos

[javier m]

Re: Sobre limite

Hola, juantv

Ya casi lo has resuelto. $\dst \forall \frac{\epsilon}{ 2}$, $\exists \delta$ tal que $|x-a|<\delta \Rightarrow$ $\dst |f(x)-L|<\frac{\epsilon}{ 2}$...(1). Si $|x-a|=|h|<\delta \Rightarrow$ $\dst |f(a+h)-L|<\frac{\epsilon}{2 }$...(2)
Sumando (1) y (2) aplicando la desigualdad triangular y la igualdad $|x|=|-x|$
se tiene que: $|f(x)-f(a+h)|<\epsilon \Rightarrow$....

Saludos

No entendí, si en ambos asumes que el límite es el mismo ($L$) desde el principio, qué es lo que estás demostrando ?

[Jose D. Escobedo]

Re: Sobre limite

Javier muestrame especificamente donde estoy asumiendo que el limite es el mismo. Solo usé tres ideas la existencia del limite, la definición de limite y que $x-a=h$.

saludos

[javier m]

Re: Sobre limite

, tal que ...(1)

ahí supones que el límites es $L$, ¿no?

Si ...(2)

Y aquí también es $L$ ¿no?

Creo yo, no sé.

[Jose D. Escobedo]

Re: Sobre limite

No javier, en el primer enunciado lo afirmo (con ayuda de la definición) y en el segundo lo supongo con ayuda del "si" conditional. Volviendolo a explicar, te dire que es una simple sustitución, pero como a los matemàticos le gusta usar epsilon y deltas para sus demostraciones "rigurosas," pues se hace ver complicado y que no devería ser.

Saludos.

[javier m]

Re: Sobre limite

Oh, disculpa, aunque no entendí por qué sumaste (sumaste ?) (1) y (2)
Ya no te molesto más

[Jose D. Escobedo]

Re: Sobre limite

La respuesta esta mas o menos explicada en este link: https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_completo

Saludos.